[論文レビュー] On $\alpha$-Firmly Nonexpansive Operators in $r$-Uniformly Convex Spaces

Arian Bërdëllima, Gabriele Steidl|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2021

Optimization and Variational Analysis参考文献 49被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、r-一様凸Banach空間におけるα-強く非拡大および準α-強く非拡大作用素を導入し、ヒルバート空間における平均化作用素の一般化を提供する。作用素の合成および凸結合がこのクラスに属することを確立し、弱収束の理論をヒルバート空間からLp空間や半群へと拡張する、弱い条件下での固定点への反復の収束を証明する。

ABSTRACT

We introduce the class of $\alpha$-firmly nonexpansive and quasi $\alpha$-firmly nonexpansive operators on $r$-uniformly convex Banach spaces. This extends the existing notion from Hilbert spaces, where $\alpha$-firmly nonexpansive operators coincide with so-called $\alpha$-averaged operators. For our more general setting, we show that $\alpha$-averaged operators form a subset of $\alpha$-firmly nonexpansive operators. We develop some basic calculus rules for (quasi) $\alpha$-firmly nonexpansive operators. In particular, we show that their compositions and convex combinations are again (quasi) $\alpha$-firmly nonexpansive. Moreover, we will see that quasi $\alpha$-firmly nonexpansive operators enjoy the asymptotic regularity property. Then, based on Browder's demiclosedness principle, we prove for $r$-uniformly convex Banach spaces that the weak cluster points of the iterates $x_{n+1}:=Tx_{n}$ belong to the fixed point set $ ext{Fix} T$ whenever the operator $T$ is nonexpansive and quasi $\alpha$-firmly. If additionally the space has a Fr\'echet differentiable norm or satisfies Opial's property then these iterates converge weakly to some element in $ ext{Fix} T$. Further, the projections $P_{ ext{Fix} T}x_n$ converge strongly to this weak limit point. Finally, we give three illustrative examples, where our theory can be applied, namely from infinite dimensional neural networks, semigroup theory, and contractive projections in $L_p$, $p \in (1,\infty) \backslash \{2\}$ spaces on probability measure spaces.

研究の動機と目的

• この論文の目的は、ヒルバート空間からr-一様凸Banach空間への平均化作用素の理論を拡張することである。
• 本研究では、より広い設定においてα-強く非拡大および準α-強く非拡大作用素を定義し、それらの性質を分析することを目的とする。
• 目的には、これらの作用素に対する固定点反復の収束性を証明することも含まれる。
• 無限次元ニューラルネットワーク、半群理論、およびp ∈ (1, ∞) \ {2}のLp空間における収縮型射影への応用を調査する。
• 本研究の目的は、Fréchet微分可能ノルムまたはOpialの性質を満たす空間において、反復の弱収束を確立し、Opialの定理およびBrowderの定理を一般化することにある。

提案手法

• 論文は、Banach空間のr-一様凸性から導かれるノルム不等式を用いて、α-強く非拡大作用素を定義する。
• α-平均化作用素がこの設定においてα-強く非拡大作用素の部分集合であることを証明する。
• 著者らは、計算規則を確立する：(準)α-強く非拡大作用素の合成および凸結合は、依然として同クラスに属する。
• Browderの半閉性原理およびOpial型の議論を用いて、反復の弱クラスターポイントが固定点集合に属することを証明する。
• Fréchet微分可能ノルムまたはOpialの性質を満たす空間では、反復が固定点に弱収束することを確立する。
• 具体的な例として、Lp空間（p ≠ 2）における収縮型射影、等長写像、およびそれらに関連する射影を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間からr-一様凸Banach空間へのα-強く非拡大作用素の概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 α-強く非拡大作用素は、合成および凸結合に関してどのような閉包性を有するか？
• RQ3 非拡大かつ準α-強く非拡大作用素の反復が、どのような条件下で固定点に弱収束するか？
• RQ4 この理論は、p ∈ (1, ∞) \ {2}のLp空間における収縮型射影にどのように適用できるか？
• RQ5 Opialの性質を満たさない空間に対しても、Browderの半閉性原理を用いて収束結果を拡張できるか？

主な発見

• α-強く非拡大作用素のクラスは、r-一様凸Banach空間におけるα-平均化作用素のクラスを厳密に一般化する。
• （準）α-強く非拡大作用素の合成および凸結合は、依然として（準）α-強く非拡大である。
• 準α-強く非拡大作用素は漸近的正則である。
• 非拡大かつ準α-強く非拡大作用素の反復の弱クラスターポイントは、r-一様凸空間において固定点集合に属する。
• 空間がFréchet微分可能ノルムを有するか、Opialの性質を満たすならば、反復は固定点に弱収束する。
• Lebesgue空間（例：p ∈ (1, ∞)のLp）において、収縮型射影の合成または凸結合の反復は、固定点集合の共通部分に弱収束する。