[論文レビュー] On arc-disjoint Hamiltonian cycles in De Bruijn graphs

Zoltán Kása|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$ q \geq 2 $、$ k > 1 $ の De Bruijn グラフ $ B(q,k) $ において、$ q-1 $ 個の弧に素なハミルトン閉路の存在を調査する。著者は $ \tau $-シフトを用いた自己写像に基づく構成法を提案し、1つの De Bruijn 語から $ q-1 $ 個の閉路を生成する。主な結果は、その語と $ \mu $ の $ q-1 $ 回の反復適用による像が、$ q-1 $ 個の異なる閉路の同値類を形成する場合、それらの閉路は弧に素であるということである。

ABSTRACT

We give two equivalent formulations of a conjecture [2,4] on the number of arc-disjoint Hamiltonian cycles in De Bruijn graphs.

研究の動機と目的

• De Bruijn グラフ $ B(q,k) $ における弧に素なハミルトン閉路の最大数に関する長年の予想を解決すること。
• De Bruijn 語上の自己写像 $ \mu $ を用いた、$ q-1 $ 個の弧に素なハミルトン閉路を構成的に生成する方法を確立すること。
• $ q > 2 $、$ k > 1 $ の場合に、1つの De Bruijn 語とその $ \mu $-変換によって生成される閉路が、互いに弧に素であることを証明すること。
• このような閉路の数が理論的上限 $ q-1 $ に一致することを示し、特定のケースで予想を確認すること。
• 予想を De Bruijn 語の同値類に関する形式に言い換えること、ここで同値関係は自己写像 $ \mu $ によって定義される。

提案手法

• 頂点集合 $ \mathcal{A}^k $、弧集合 $ \mathcal{A}^{k+1} $ を持ち、重複部分文字列に基づく隣接関係を持つ De Bruijn グラフ $ B(q,k) $ を定義する。
• アルファベット $ \{0,1,\dots,q-1\} $ 上の自己写像 $ \mu $ を定義する。$ \mu(0) = 0 $、$ 1 \leq i < q-1 $ に対して $ \mu(i) = i+1 $、$ \mu(q-1) = 1 $ であり、任意の語 $ u $ に対して $ \mu^{q-1}(u) = u $ を満たす。
• De Bruijn 語 $ B_0 $ に対して $ \mu^k(B_0) $ を $ k = 1 $ から $ q-2 $ まで適用することで、$ q-1 $ 個のハミルトン閉路 $ H_0, H_1, \dots, H_{q-2} $ を生成する。
• 対応する語 $ B_k = \mu^k(B_0) $ が互いに異なることと、それらの弧集合が重複しないことを示すことにより、$ H_0, H_1, \dots, H_{q-2} $ が弧に素であることを証明する。
• $ \mu $ によって誘導される同値関係が、De Bruijn 語の集合をサイズ $ q-1 $ の同値類に分割することを確立し、そのような同値類が $ q-1 $ 個の弧に素な閉路を含むならば、予想が成り立つことを示す。
• 明示的な例（$ B(3,2) $、$ B(3,3) $、$ B(4,2) $、$ B(5,2) $）を用いて構成を検証する。ここでは $ q-1 $ 個の弧に素な閉路を明示的に列挙し、確認している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 De Bruijn グラフ $ B(q,k) $（$ q \geq 2 $、$ k > 1 $）は、正確に $ q-1 $ 個の弧に素なハミルトン閉路を有するか？
• RQ2 繰り返し自己写像 $ \mu $ を適用することにより、1つの De Bruijn 語から $ q-1 $ 個の弧に素なハミルトン閉路を生成できるか？
• RQ3 ある De Bruijn 語 $ B_0 $ が存在し、$ k = 1, \dots, q-2 $ の各 $ \mu^k(B_0) $ の像が、互いに異なる $ q-1 $ 個のハミルトン閉路を生成し、それらが互いに弧に素であるか？
• RQ4 自己写像 $ \mu $、De Bruijn 語の同値類、および弧に素なハミルトン閉路の構造との関係は何か？
• RQ5 弧に素なハミルトン閉路の数に関する予想を、$ \mu $ による De Bruijn 語への作用の軌道構造を用いて再定式化できるか？

主な発見

• $ B(3,2) $ に対して、$ H_0 = 0011220210 $ と $ H_1 = 0022110120 $ は弧に素であり、$ q-1 = 2 $ 個の閉路が存在することを確認した。
• $ B(3,3) $ に対して、$ H_0 = 00010021011022202012111221200 $ と $ H_1 = 00020012022011101021222112100 $ は弧に素であり、$ q=3 $、$ k=3 $ の場合に予想が成立することを支持する。
• $ B(4,2) $ に対して、$ B_0 = 00102113230331220 $ から $ \mu $、$ \mu^2 $ を適用して得られる3つの閉路 $ H_0, H_1, H_2 $ は弧に素であり、$ q-1 = 3 $ 個の閉路が確認された。
• $ B(5,2) $ に対して、$ B_0 = 00102112041422430332313440 $ から $ \mu $、$ \mu^2 $、$ \mu^3 $ を適用して得られる4つの閉路 $ H_0, H_1, H_2, H_3 $ は弧に素であり、$ q-1 = 4 $ 個の閉路が確認された。
• 自己写像 $ \mu $ は $ \mu^{q-1}(u) = u $ を満たし、任意の語の $ \mu $ による軌道のサイズは $ q-1 $ を割り切る。構成法は、このような軌道がサイズ $ q-1 $ の完全なサイクルを形成することに依存している。
• 予想は、$ q-1 $ 個の語 $ \mu^k(B_0) $（$ k=0,1,\dots,q-2 $）がすべて相異なること、かつそれらが $ B(q,k) $ において弧に素なハミルトン閉路を生成することと同値である。