[論文レビュー] On asymptotic stability of standing waves of discrete Schrödinger equation in $\Bbb Z$

Scipio Cuccagna, Mirko Tarulli|ArXiv.org|Aug 14, 2008

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 25被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、整数格子 $\mathbb{Z}$ 上の離散非線形シュレーディンガー方程式に立方非線形項 $|u|^6u$ を持つ場合、ポテンシャル $q$ と離散シュレーディンガー作用素 $H$ のスペクトル的性質に関する仮定の下で、定常波解の漸近的安定性を確立する。分散推定とカト型滑らかさ評価を用いて、$q$ に関する一般的なスペクトル的条件と減衰性の仮定の下で、小刻みな摂動が $t\to\infty$ の際に $\ell^2$ ノルムでゼロに発散する新しい定常波解と放射項に分離することを証明する。この結果は、連続空間における安定性理論を離散的設定に拡張したものであり、分散速度が $t^{-1/3}$ に遅くなる点を考慮している。

ABSTRACT

We prove an analogue of a classical asymptotic stability result of standing waves of the Schrödinger equation originating in work by Soffer and Weinstein. Specifically, our result is a transposition on the lattice Z of a result by Mizumachi and it involves a discrete Schrödinger operator H. The decay rates on the potential are less stringent than in Mizumachi, since we require for the potential $q\in \ell ^{1,1}$. We also prove $|e^{itH}(n,m)|\le C < t > ^{-1/3}$ for a fixed $C$ requiring, in analogy to Goldberg and Schlag only $q\in \ell ^{1,1}$ if $H$ has no resonances and $q\in \ell ^{1,2}$ if it has resonances. In this way we ease the hypotheses on H contained in Pelinovsky and Stefanov, which have a similar dispersion estimate.

研究の動機と目的

• 離散非線形シュレーディンガー方程式の $\mathbb{Z}$ 上における定常波解の漸近的安定性を確立すること。
• 連続的状況からの結果を離散的格子設定に拡張し、離散ラプラシアンの $[0,4]$ スペクトルと遅い $t^{-1/3}$ 分散を考慮すること。
• 一般的なスペクトル的および減衰性仮定の下で、摂動された解が $t\to\infty$ の際に $\ell^2$ で弱収束して新しい定常波解と分散放射項に分離することを証明すること。
• エンドポイント・ストリコルツ推定が1次元で成立しないにもかかわらず、ストリコルツ型推定とカト滑らかさを用いた離散系における安定性解析の枠組みを構築すること。
• スペクトル構造と減衰性の特性のおかげで、この設定ではフェルミ・ゴールデン・ルール条件が安定性に不要であることを示すこと。

提案手法

• 重み付き $\ell^{2,\sigma}$ 空間における implicitly function theorem を用いて、固有値 $-E_0$ の近傍で $\omega$ の解析的関数族として定常波解 $\phi_\omega$ を構成する分岐的議論に依存する。
• 自由発展 $e^{it\Delta}$ に対する $\mathbb{Z}$ 上のカト型滑らかさ推定と分散評価を用い、$\langle t\rangle^{-1/3}$ 減衰を示す。
• 重要なステップとして、ウェイル関数と関連するスペクトルデータが $\ell^{1,1}$ に属することを証明し、スペクトル射影およびリゾルベント推定に必要な正則性を保証する。
• 著者らは、ジョスト関数の技法とバーマン＝ソロムジャック空間推定を用いて、[PS] の低エネルギー領域における分散に関する結果を再証明・適応する。
• 非線形推定を、$a^6 = \omega - E_0$ における摂動展開を用いて、重み付き空間における固定点方程式に帰着させることで確立する。
• 非線形性のリプシッツ連続性と $\ell^2$ ノルムの保存性により、解がすべての時間にわたり存在することを示し、グローバルな適切性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散NLS方程式の $\mathbb{Z}$ 上における定常波解が、小刻みな $\ell^2$-摂動に対してどのような条件下で安定性を保つのか。
• RQ2 $\mathbb{Z}$ 上の $t^{-1/3}$ 分散速度が、連続的状況と比較して離散ソリトンの漸近的安定性にどのように影響するか。
• RQ3 スペクトルがコンパクトな場合に、フェルミ・ゴールデン・ルールを仮定しないで漸近的安定性を証明できるか。
• RQ4 $q$ の $\ell^{1,1}$ 減衰が、定常波族 $\phi_\omega$ の存在性と正則性を保証するために果たす役割は何か。
• RQ5 連続的状況における漸近的安定性理論が、有限スペクトルを持つ離散格子にどの程度まで適応可能か。

主な発見

• 任意の $\omega_0 \in (E_0, E_0 + \eta)$ に対して、定常波 $\phi_{\omega_0}$ の小刻みな $\ell^2$-摂動は、$\omega_+ \in (E_0, E_0 + \eta_0)$ となる新しい定常波 $\phi_{\omega_+}$ と放射項に分離する。
• 解は $\lim_{t\to\infty}\|u(t) - e^{i\Theta(t)}\phi_{\omega_+} - e^{it\Delta}u_+\|_{\ell^2} = 0$ を満たし、$\ell^2$ の意味で漸近的安定性が証明される。
• 定常波族 $\phi_\omega$ は実数値であり、指数的局在性を有する：ある $a>0$, $C>0$ に対して、すべての $\omega$ に対して $|\phi_\omega(n)| \leq C e^{-a|n|}$ が成り立つ。
• $\omega \to E_0^+$ のとき、$\phi_\omega = (\omega - E_0)^{1/6}\|\varphi_0\|_{\ell^8}^{-4/3}(\varphi_0 + O(\omega - E_0))$ の展開が成り立つ。これは臨界スケーリングを示している。
• $|u|^6u$ 非線形性は、$C^2$-正則性とゼロにおける微分の消滅を満たすため、$C^2$-ベースの非線形推定に適している。
• 証明は、定常波族の $C^\omega$ 正則性を必要とせず、代わりに $C^2$-滑らかさに依存し、エンドポイント・ストリコルツ推定ではなく、古典的なカト滑らかさ推定を用いる。