[論文レビュー] On Automatic Continuity of 3-Homomorphisms on Banach Algebras

Janko Bračič, Mohammad Sal Moslehian|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2006

Functional Equations Stability Results参考文献 3被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、単位元をもつC*-代数間の任意の対合を保存する3準同型写像が、作用素ノルムが1以下であるノルムを減少させるものであることを確立している。2通りの異なる手法——C*-代数におけるスペクトル解析とArens積を用いた第二双対拡張——を用いて、有界な近似単位元をもつバナッハ代数上でのこのような3準同型写像の自動連続性を証明し、C*-代数の文脈におけるこれらの写像の連続性に関する未解決問題を解決した。

ABSTRACT

A linear map $ϕ:{\mathcal A} o {\mathcal B} $ between (Banach) algebras is called 3-homomorphism if $ϕ(abc)=ϕ(a)ϕ(b)ϕ(c)$ for each $a, b, c \in {\mathcal A}$. We investigate 3-homomorphisms on Banach algebras with bounded approximate identities and establish in two ways that every involution preserving homomorphism between $C^*$-algebras is norm decreasing.

研究の動機と目的

• 有界な近似単位元をもつバナッハ代数上での3準同型写像の自動連続性を調査すること。
• 任意のC*-代数間の対合を保存する3準同型写像が連続であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• このような3準同型写像がノルムを減少させ、作用素ノルム ≤ 1 であることを確立すること。
• 第二双対代数におけるArens積構造を用いて、3準同型写像の第二双対拡張が3準同型写像の性質を保つことを示すこと。

提案手法

• C*-代数におけるスペクトル理論を用いて、φ(a)#φ(a) のスペクトルが a#a のスペクトルに {0} を加えた集合に含まれることを示し、ノルムの制御を達成する。
• L. ハリスのJ*-準同型写像に関する戦略を応用し、λ1 - φ(a)#φ(a) の可逆性を分析することで、φ がノルムを減少させることを証明する。
• 代数 A** の左単位元 L を用いて、A** 上の写像 ψ を構成し、φ(a) = φ**(L) ▹ ψ(a) が成り立つようにする。
• A** および B** におけるArens積構造を用いて、3準同型写像 φ を第二双対上への φ** に持ち上げ、3準同型写像の性質を保つようにする。
• φ** が A** 上で対合を保存する3準同型写像であることを示し、A** がフォン・ノイマン代数であることに基づいて、既知のノルムを減少させる準同型写像に関する結果を適用する。
• E を A** の単位元とするとき、φ**(E) のノルムが ≤ 1 であることを示し、φ** のノルム不等式から ‖φ‖ ≤ 1 を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のC*-代数間の対合を保存する3準同型写像は、自動的に連続であるか？
• RQ2 事前に連続性を仮定せずに、このような3準同型写像のノルムを減少させる性質を確立できるか？
• RQ3 有界な近似単位元をもつバナッハ代数の第二双対構造は、3準同型写像の連続性にどのように影響するか？
• RQ4 Arens積と有界な近似単位元は、3準同型写像を第二双対に持ち上げる際に果たす役割は何か？
• RQ5 3準同型写像の対合を保存する性質は、その第二双対写像が再び対合を保存するかどうかを保証するか？

主な発見

• 単位元をもつC*-代数間の任意の対合を保存する3準同型写像 φ は、‖φ‖ ≤ 1 を満たし、ノルムを減少させることを示した。
• 3準同型写像 φ の第二双対拡張 φ** は、A** 上のArens積に関して、自身が3準同型写像である。
• 有界な近似単位元をもつバナッハ代数 A に対して、F ∈ A** に対して ψ(F) = φ**(L) ▹ φ**(F) で定義される写像 ψ は、(A**, ▹) 上の準同型写像である。ここで L は左単位元である。
• 第二双対拡張 φ** のノルムは、E を A** の単位元として、φ**(E) のノルムによって抑えられ、そのノルムは ≤ 1 である。
• φ の対合を保存する性質は、φ** が A** 上でも対合を保存することを示し、ノルムを減少させる準同型写像に関する既知の結果の適用を可能にする。
• 第二双対を用いた証明により、φ が連続であり、‖φ‖ ≤ 1 であることが確認され、このような写像の自動連続性に関する問題が解決された。