[論文レビュー] On Automorphism Groups of Networks

Ben D. MacArthur, Rubén J. Sánchez-García+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2007

Complex Network Analysis Techniques参考文献 61被引用数 89

ひとこと要約

本稿は、現実世界のネットワークの自己同型群を調査し、古典的なランダムグラフモデルとは対照的に、多くのネットワークが顕著な対称性を示すことを明らかにした。幾何的分解を用いて対称群の直積およびワルフィング積に分解することで、著者らはこれらの対称性を特定可能な部分グラフ構造、特にクリークとバイクリークに関連づけ、ネットワークの対称性が一般的であり、構造的に解釈可能であることを示した。このことは、複雑系における動的挙動を理解する上で意味を持つ。

ABSTRACT

We consider the size and structure of the automorphism groups of a variety of empirical `real-world' networks and find that, in contrast to classical random graph models, many real-world networks are richly symmetric. We relate automorphism group structure to network topology and discuss generic forms of symmetry and their origin in real-world networks.

研究の動機と目的

• 現実世界の複雑ネットワークにおける対称性の広がりとその構造的起源を調査し、それらのネットワークは通常非対称であるという仮定に挑戦すること。
• 大規模な自己同型群を、分解不能で解釈可能な成分に効率的に分解する手法を開発すること。
• 自己同型群の代数的構造を、現実世界のネットワークにおける特定可能な対称的部分グラフに関連づけること。
• これらのネットワークにモデル化された系における動的挙動に、ネットワークの対称性が及ぼす影響を調査すること、特に生物学的および技術的システムにおいて。
• 特定の結合関数に依存しない、ネットワークの対称性に基づいた一般的な動的挙動の予測フレームワークを確立すること。

提案手法

• nautyアルゴリズムを用いて、さまざまな実世界ネットワークの自己同型群のサイズと構造を計算する。
• 支持集合が互いに素である生成子集合に基づき、自己同型群を対称群の直積およびワルフィング積に幾何的に分解する。
• 分解の各因子に対応する対称的部分グラフ（例：クリーク、スターグラフ、バイクリーク）を同定し、代数的構造とトポロジーを関連づける。
• 群論的技術を用いて自己同型群を分解不能な成分に因子分解し、大規模ネットワークの効率的解析を可能にする。
• ネットワーク成長プロセスと対称性の関係を分析し、特に木構造的および局所的に対称的な構造の出現に注目する。
• 分解を用いて、現実世界のネットワークにおける大部分の対称性が、対称的クリークおよびバイクリークに起因していることを推論する。複雑な対称性は稀であり、個別に分析する必要がある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現実世界のネットワークはどの程度対称的であり、古典的ランダムグラフモデルと比べてどう異なるか？
• RQ2 成長過程にあり、局所的に木構造的領域を持つネットワークにおいて、対称性の構造的起源は何か？
• RQ3 現実世界のネットワークにおける大規模自己同型群を、解釈可能で分解不能な成分に効率的に分解する方法は何か？
• RQ4 どの種類の部分グラフが、現実世界のネットワークにおける対称性の大部分を占めているか？
• RQ5 ネットワークの対称性は、これらのネットワークにモデル化された系の可能な動的挙動をどのように制約または予測するか？

主な発見

• 生物学的、技術的、社会的ネットワークを含む多くの現実世界のネットワークが、10^13 から 10^600 の範囲の大きさを有する非自明な自己同型群を示しており、顕著な固有の対称性を示している。
• ヒトB細胞遺伝子相互作用ネットワークの自己同型群の大きさは約 5.94 × 10^13 であり、C. elegans 遺伝子相互作用ネットワークの自己同型群の位数は 6.9985 × 10^161 である。
• 米国電力グリッドネットワークの自己同型群のサイズは 5.1851 × 10^152 であり、自律的システムレベルでのインターネットの自己同型群は 1.2822 × 10^11298 である。
• 自己同型群の幾何的分解により、それらが通常、対称群の直積およびワルフィング積から構成されていることが明らかになった。大部分の対称性は、対称的クリークおよびバイクリークに起因している。
• ワルフィング積対称性を示す複雑な対称的部分グラフは存在するが、稀であり、個別に分析する必要がある。米国電力グリッドでは C₂ ≀ C₂ 要因が観察された。
• 分解手法により、従来では取り扱いが困難だった自己同型群の効率的解析が可能となり、ネットワーク系における一般的な動的挙動を予測するための構造的根拠が得られた。