[論文レビュー] On Banach spaces without the approximation property

O. I. Reinov|ArXiv.org|Mar 15, 2002

Advanced Banach Space Theory参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、近似性質を備えないバナッハ空間を構成するが、その中には有限次元部分空間が良好に補完可能であるものがある——具体的には、$ n $ 次元部分空間が環境空間において $ C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $-補完可能である。構成法は、サーンコフスキーの方法を洗練したものであり、タイプ2およびコタイプ2を保証するように選ばれた $ p_n $-ノルムを用いた混合ノルム $ \ell^2 $-和としての $ \ell^2 $-空間の族への埋め込みを含む。補完性の制御は、作用素イデアルノルムと射影に関する幾何的推定によってなされる。

ABSTRACT

A. Szankowski's example is used to construct a Banach space similar to that of "An example of an asymptotically Hilbertian space which fails the approximation property", P.G. Casazza, C.L. Garc\'ıa, W.B. Johnson [math.FA/0006134 ([e-mail])].

研究の動機と目的

• タイプ2およびコタイプ2を備える任意のバナッハ空間が、すべての部分空間において近似性質を有するかどうかを検証すること。
• 近似性質を欠くバナッハ空間において、有限次元部分空間がどの程度良好に補完可能であるかを調査すること。
• 近似性質を欠くがタイプ2およびコタイプ2を備える空間を構成し、その部分空間が $ C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $-補完可能であるようにすること。
• 近似不能な空間における補完性の上限の鋭さを探索すること、特に $ C \log n $-補完可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 構成法はサーンコフスキーの方法を発展させたもので、集合列 $ I_n = \{2^n+1, \dots, 2^{n+1}\} $ と $ c_0 $ 内のベクトル $ z_i $ および関連する汎関数 $ z_i' $ を用いる。
• キーとなる汎関数 $ \beta_n(U) $ は $ I_n $ 上での平均を用いて定義され、その差 $ \beta_n(U) - \beta_{n-1}(U) $ は、サイズ $ m_n \geq C 2^{n/8} $ のブロックに分割された $ \nabla_n $ 上での和と関係づけられる。
• 環境空間 $ Y $ は、$ \Delta_n $ のブロック上での $ \ell^2 $-空間の混合ノルム $ \ell^2 $-和として定義され、$ 1/p_n - 1/2 = n^{-1} \log_a n^{1+\varepsilon} $ を満たすように $ p_n $ を選ぶことで、$ T(Y) = C(Y) = 2 $ が保証される。
• 空間 $ X_\varepsilon $ は $ \{z_i\} $ の線形包の閉包として定義され、$ \beta_n $-汎関数と [2] の補題1を用いた摂動論法により、近似性質を欠くことが示される。
• 補完性の上限は、射影の $ \gamma_2 $-ノルムの推定により得られ、$ n = 2^N $ のとき $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} N^{1+\varepsilon} $ が成り立ち、これにより $ \log^{1+\varepsilon} n $-補完性が得られる。
• さらに $ \varepsilon_n \to 0 $ かつ $ \sum n^{-1-\varepsilon_n} < \infty $ を満たす $ p_n $ の洗練された選択により、$ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $ が成り立ち、強い補完性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ2およびコタイプ2を備えるバナッハ空間が、すべての部分空間において近似性質を有する必要があるか？
• RQ2 近似性質を欠くバナッハ空間であっても、ある $ \varepsilon > 0 $ に対して $ C \log^{1+\varepsilon} n $-補完可能な有限次元部分空間を有する可能性はあるか？
• RQ3 すべての $ n $ 次元部分空間が $ C \log n $-補完可能であるような、近似性質を欠く空間を構成することは可能か？
• RQ4 近似不能なバナッハ空間における有限次元部分空間の最良補完速度は何か？
• RQ5 $ C \log n $-補完性は向上可能か、それとも $ \log^{1+\varepsilon} n $ がこの構成において本質的に最良のものか？

主な発見

• 混合ノルム空間 $ Y $ 内での $ \{z_i\} $ の線形包の閉包として定義される空間 $ X_\varepsilon $ は、近似性質を備えない。
• 任意の $ n $ 次元部分空間 $ E \subset X_\varepsilon $ に対して、$ \ell^n_2 $ とのバナッハ＝マザール距離は $ d(E, \ell^n_2) \leq C_\varepsilon \log^{1+\varepsilon} n $ を満たす。
• $ X_\varepsilon $ 内の各 $ n $ 次元部分空間 $ E $ は、$ Y $ において $ C_\varepsilon \log^{1+\varepsilon} n $-補完可能であり、したがって $ X_\varepsilon $ 内でも同様である。
• 補完性の上限は、射影の $ \gamma_2 $-ノルム推定により得られ、$ n = 2^N $ のとき $ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} N^{1+\varepsilon} $ が成り立ち、これにより $ \log^{1+\varepsilon} n $-補完性が導かれる。
• $ \varepsilon_n \to 0 $ かつ $ \sum n^{-1-\varepsilon_n} < \infty $ を満たす $ p_n $ の洗練された選択により、$ \gamma_2(P) \leq C_{\varepsilon} \log^{1+\varepsilon} n $ が成り立ち、この上限が達成可能であることが確認される。
• 本論文は、$ C \log n $-補完性は同様の条件下で達成不可能であることを示しており、$ \log^{1+\varepsilon} n $ がこのような構成において本質的に最良のものであると考えられる。