[論文レビュー] On Banach Structure of Multivariate BV Spaces I

Alexander Brudnyi, Yuri Brudnyi|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2018

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ひとこと要約

本稿は、局所多項式近似と原子分解を用いて、有界 variation (BV) の多変数関数のための統一的枠組みを導入し、双対性および弱*コンパクト性の性質を確立する。予備双対空間が $ C^{ u} $ 関数が生成する分離可能な部分空間の双対と等長同型であることを示し、その結果、この部分空間の第二双対が全BV空間と等長同型である「二重星定理」が得られる。

ABSTRACT

We introduce and study multivariate generalizations of the classical BV spaces of Jordan, F. Riesz and Wiener. The family of the introduced spaces contains or is intimately related to a considerable class of function spaces of modern analysis including BMO, BV, Morrey spaces and those of Sobolev of arbitrary smoothness, Besov and Triebel-Lizorkin spaces. We prove under mild restrictions that the BV spaces of this family are dual and present constructive characterizations of their preduals via atomic decompositions. Moreover, we show that under additional restrictions such a predual space is isometrically isomorphic to the dual space of the separable subspace of the related BV space generated by $C^\infty$ functions. As a corollary we obtain the "two stars theorem" asserting that the second dual of this separable subspace is isometrically isomorphic to the BV space. An essential role in the proofs play approximation properties of the BV spaces under consideration, in particular, weak$^*$ denseness of their subspaces of $C^\infty$ functions. Our results imply the similar ones (old and new) for the classical function spaces listed above obtained by the unified approach.

研究の動機と目的

• 局所多項式近似と原子分解を用いて、古典的BV空間の多変数一般化を構築すること。
• これらの一般化されたBV空間の双対構造を確立し、その予備双対空間の構成的特徴づけを含むこと。
• BV空間内における $ C^{∞} $ 関数の弱*コンパクト性および稠密性に関する結果を証明すること。
• BMO、BV、モリィ、ソボレフ、ベソフ、トライベル＝リゾルキンといった古典的関数空間を、一つの変分的枠組みで統一すること。
• この部分空間の第二双対が全BV空間と等長同型であることを示す「二重星定理」を確立すること。

提案手法

• $ \mathbb{R}^d $ 内の dyadic クローズ上での局所多項式近似に基づく変動ノルムを用いて、多パrametricなBV空間族を定義する。
• $ \kappa $-原子による予備双対空間の原子分解を用いて、BV空間の双対を特徴付ける。
• 弱*位相と Kreïn-Smulian の基準を適用して、双対空間上の汎関数の弱*連続性を証明する。
• 予備双対空間と $ C^{∞} $ 関数が生成する分離可能な部分空間の双対との等長同型を確立する。
• $ C^{∞} $ 関数がBV空間において弱*稠密であるという事実を活用して、コンパクト性および双対性の結果を証明する。
• 有限Borel測度 $ \mu_{v^*} $ を含む測度論的道具を用いて汎関数を表現し、有界性および連続性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的多変数BV空間および関連関数空間（BMO、ソボレフ、ベソフなど）を、一つの変分的枠組みでどのように統一できるか？
• RQ2 導入された多変数BV空間の予備双対空間とは何か？ また、原子分解を用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 BV空間の予備双対空間が、 $ C^{∞} $ 関数が生成する分離可能な部分空間の双対と等長同型である条件は何か？
• RQ4 $ C^{∞} $ 関数がBV空間において弱*稠密であるという性質は、双対性およびコンパクト性の結果にどのように寄与するか？
• RQ5 これらの一般化されたBV空間に対して、「二重星定理」を確立できるか？ すなわち、この部分空間の第二双対が全BV空間と等長同型であることを示せるか？

主な発見

• 多変数BV空間の予備双対空間は、 $ \kappa $-原子の原子分解を用いて構成的に特徴づけられる。
• 予備双対空間は、 $ C^{∞} $ 関数が生成する分離可能な部分空間の双対と等長同型である。
• $ C^{∞} $ 関数の空間は、BV空間において弱*稠密であり、これは弱*コンパクト性および双対性の証明に不可欠である。
• 分離可能な部分空間の双対は、全BV空間と等長同型であるため、「二重星定理」が確立される。
• BV空間上の汎関数は弱*連続であり、有限Borel測度による積分表現が可能である。
• 本結果は、BMO、BV、モリィ、ソボレフ空間などの既知の双対性および再帰的性質に関する結果を統一的かつ一般化する。