[論文レビュー] On Besov regularity of Brownian motions in infinite dimensions

Tuomas Hytönen, Mark Veraar|ArXiv.org|Jan 18, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、無限次元バナッハ空間におけるX値ブラウン運動のベソフ正則性に関する鋭い推定を確立し、経路正則性に関する古典的結果を拡張する。等周不等式とガウス過程の最大モーメント推定を用いて、ブラウン運動のベソフノルムが終端増分の1番目の絶対モーメントと同値であることを証明し、オーリツュノルムと弱分散を含む明示的で有界な推定を提示する。非可分なベソフ空間における非ラドン的性質が明らかになる。

ABSTRACT

We extend to the vector-valued situation some earlier work of Ciesielski and Roynette on the Besov regularity of the paths of the classical Brownian motion. We also consider a Brownian motion as a Besov space valued random variable. It turns out that a Brownian motion, in this interpretation, is a Gaussian random variable with some pathological properties. We prove estimates for the first moment of the Besov norm of a Brownian motion. To obtain such results we estimate expressions of the form $\E \sup_{n\geq 1}\|ξ_n\|$, where the $ξ_n$ are independent centered Gaussian random variables with values in a Banach space. Using isoperimetric inequalities we obtain two-sided inequalities in terms of the first moments and the weak variances of $ξ_n$.

研究の動機と目的

• 一般のバナッハ空間 X に対して、実数値ブラウン運動の古典的ベソフ正則性結果を、無限次元バナッハ空間におけるベクトル値設定に拡張すること。
• 非可分なベソフ空間における値をとる確率変数としてのブラウン運動の分布的性質を分析すること。
• ガウス過程の最大不等式を用いて、X値ブラウン運動のベソフノルムの明示的モーメント推定を導出すること。
• 非可分なベソフ空間に埋め込まれたブラウン運動の法則における病理的性質、特にラドン性の欠如を調査すること。

提案手法

• バナッハ空間 X 値の独立した中心化されたガウス確率変数 $\xi_n$ に対して、等周不等式を用いて $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\|$ の両側推定を導出する。
• 等価関係 $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\| \eqsim m + \|(\sigma_n)\|_{\Theta}$ を確立し、ここで $m = \sup_n \mathbb{E} \|\xi_n\|$ で、$\sigma_n$ は弱分散、$\Theta(x) = x^2 e^{-1/x^2}$ である。
• ブラウン運動の dyadic インターバルにおける増分に最大モーメント推定を適用し、$L^p$ およびオーリツュノルムを用いてベソフ半ノルムを制御する。
• カハーネ＝カインチンの不等式を用いて、$p \in [1, \infty)$ の $L^p$-ノルムへのモーメント推定の拡張を行う。
• 臨界正則性を特徴付けるために、$\Phi_2(x) = e^{x^2} - 1$ であるオーリツュノルム $\|\cdot\|_{\Phi_2}$ を分析する。
• ドーブの最大不等式とノルム比較技術を組み合わせ、$\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)}$ および $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)}$ を $\mathbb{E} \|W(1)\|$ の項で上界で抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のバナッハ空間 X に対して、X値ブラウン運動のパスの正確なベソフ正則性は何か？
• RQ2 ブラウン運動のベソフノルムのモーメントは、その終端値 $W(1)$ のモーメントとどのように関係するか？
• RQ3 X値ブラウン運動を、非可分なベソフ空間値のガウス確率変数とみなすことができるか？
• RQ4 非可分なベソフ空間に埋め込まれたブラウン運動の法則において、どのような病理的性質が生じるか？
• RQ5 $p \to \infty$ のとき、$\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)}$ の鋭い漸近的挙動は何か？

主な発見

• X値ブラウン運動の期待ベソフノルムは、すべての $p \in [1, \infty)$ に対して $\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)} \eqsim_p (\mathbb{E} \|W(1)\|^p)^{1/p}$ を満たす。
• オーリツュ・ベソフ空間では、$\mathbb{E} \|W\|_{B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)} \eqsim \mathbb{E} \|W(1)\|$ であり、同値の定数は X に依存しない。
• $B^{1/2}_{p,\infty}(0,1;X)$ または $B^{1/2}_{\Phi_2,\infty}(0,1;X)$ 値の確率変数としての W の法則はガウス的であるが、$\mathbb{P}(\|W\| \leq \varepsilon) = 0$ がすべての $\varepsilon > 0$ に対して成り立つため、ラドンでない。
• 独立した中心化されたガウス確率変数 $\xi_n$ がバナッハ空間 X 値をとるとき、最大モーメント推定 $\mathbb{E} \sup_{n \geq 1} \|\xi_n\| \eqsim m + \|(\sigma_n)\|_{\Theta}$ が成り立つ。ここで $m = \sup_n \mathbb{E} \|\xi_n\|$ で、$\sigma_n$ は弱分散である。
• $p \to \infty$ のとき、$\|(2^{-j/p})_j\|_{\Theta}$ は $\sqrt{\log p}$ に漸近的に同値であり、モーメント推定において $\mathbb{E} \|W(1)\|$ に比べて無視できる。
• 最大モーメント推定における弱分散項 $\|(\sigma_j)\|_{\Theta}$ は $C(1 + \sqrt{\log p}) \|i_W\|$ で有界であり、$p$ が大きいときには $\mathbb{E} \|W(1)\|$ よりもはるかに小さいため、$m$ 項が支配的になる。