[論文レビュー] On Bijective Variants of the Burrows-Wheeler Transform

Manfred Kufleitner|ArXiv.org|Aug 3, 2009

Algorithms and Data Compression参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Lyndon分解と新しいk階位の文脈グラフを活用することで、インデックスや終端文字マーカーの必要性を排除した、Burrows-Wheeler変換（BWT）およびSort変換（ST）の2つの双射的変種を提示する。主な貢献は、両変換の双射性を構成的証明で示したこと、およびグラフに基づく再構成を用いた効率的な逆変換アルゴリズムの開発であり、冗長性のない1対1の写像により、データ圧縮と暗号的セキュリティの両面で向上をもたらす。

ABSTRACT

The sort transform (ST) is a modification of the Burrows-Wheeler transform (BWT). Both transformations map an arbitrary word of length n to a pair consisting of a word of length n and an index between 1 and n. The BWT sorts all rotation conjugates of the input word, whereas the ST of order k only uses the first k letters for sorting all such conjugates. If two conjugates start with the same prefix of length k, then the indices of the rotations are used for tie-breaking. Both transforms output the sequence of the last letters of the sorted list and the index of the input within the sorted list. In this paper, we discuss a bijective variant of the BWT (due to Scott), proving its correctness and relations to other results due to Gessel and Reutenauer (1993) and Crochemore, Desarmenien, and Perrin (2005). Further, we present a novel bijective variant of the ST.

研究の動機と目的

• インデックスや終端文字マーカーの冗長性を排除した、Burrows-Wheeler変換（BWT）の双射的変種の開発。
• BWTの変種としてのSort変換（ST）に対しても双射性を拡張すること。STは共役のソートに最初のk文字のみを用いる。
• 両双射的変換の単射性および全射性の構成的証明の提供。
• 元の語を再構成するための新しいk階位の文脈グラフ構造を用いた、効率的な逆変換アルゴリズムの設計。
• Scottの双射的BWT、Gessel-Reutenauer理論、Crochemore-Désarménien-Perrinの結果の間の関係を統合的かつ明確化すること。

提案手法

• 入力語の一意的分解を保証するため、双射的BWTの定義にLyndon分解をコアな構造的要素として用いる。
• 双射的STにおける共役の構造をモデル化するため、k長の文脈をノードとし、遷移をエッジとするk階位の文脈グラフを適用する。
• 元の語を変換出力から再構成するため、k階位の文脈グラフ上でグリーディな走査戦略を採用し、常に利用可能な出発エッジの中でラベルが最小のものを選ぶ。
• 標準的な出力順列と文脈グラフを用いて、前向き変換を逆方向にシミュレートすることで、双射的STの逆変換を構築する。
• STにおける同順位の処理を、最初のk文字が等しい場合にのみ回転インデックスを用いて行う、修正されたソート基準を導入する。
• 元の語を変換出力と文脈グラフから回復する構成的アルゴリズムを通じて双射性を証明し、1対1の対応を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックスや終端文字マーカーを用いずに、Burrows-Wheeler変換を双射的にできるか？
• RQ2 Sort変換（ST）は、構造的性質を保ちつつ、どのようにして双射性を達成できるか？
• RQ3 Lyndon分解は、双射的BWTを可能にする役割を果たすが、既存の組合せ論的結果とどのように関係するか？
• RQ4 k階位の文脈グラフは、標準順列の一般化として機能し、双射的STの効率的逆計算を可能にするか？
• RQ5 双射的BWTと双射的STは、Gessel-Reutenauer変換や組合せ論的語の分野における他の既知の結果とどのように関係するか？

主な発見

• Lyndon分解に基づく双射的BWTは、長さnの語とその変換出力との間で1対1の対応を保証し、インデックスや終端文字マーカーの必要性を排除したことが証明された。
• 双射的STは、共役関係をエンコードし、損失なしの再構成を可能にするk階位の文脈グラフを用いることで、STの新しい双射的変種として導入された。
• 双射的STの逆変換は、k階位の文脈グラフ上のグリーディ走査により計算され、右から左へと文字列を体系的に出力することで、出力列の逆順として元の語が再構成される。
• k階位の文脈グラフは、BWTの逆計算で用いられる標準順列の一般化を提供し、逆アルゴリズムのための構造的中間ステップを提供する。
• 例としてw = bcbccbcbcabbaaba、k=2の場合、双射的STと双射的BWTは同一の出力を生成し、特定の状況下で等価であることを示した。
• 双射的ST出力から元の語を再構成するアルゴリズムは正しく、文脈グラフ内のすべてのエッジが消費された時点で停止し、完全性と正しさが保証される。