[論文レビュー] On $C^0$-continuity of the spectral norm for symplectically non-aspherical manifolds

Yusuke Kawamoto|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、Buhovsky-Humilière-Seyfaddiniの手法を拡張することで、複素射影空間や負の単調なシンプレクティック多様体を含む、シンプレクティック的に非アーシャーブルな多様体におけるスペクトルノルムの$C^0$-連続性を確立する。$\mathbb{C}P^n$ における $C^0$-連続性の別証明を提供し、有理的シンプレクティック多様体について部分的な $C^0$-連続性を証明する。応用として、$C^0$-シンプレクティック位相幾何学、たとえばアーノルド予想やずらされた円板問題が含まれる。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the relation between the $C^0$-topology and the topology induced by the spectral norm on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of a closed symplectic manifold. Following the approach of Buhovsky-Humilière-Seyfaddini, we prove the $C^0$-continuity of the spectral norm for complex projective spaces and negative monotone symplectic manifolds. The case of complex projective spaces provides an alternative approach to the $C^0$-continuity of the spectral norm proven by Shelukhin. We also prove a partial $C^0$-continuity of the spectral norm for rational symplectic manifolds. Some applications such as the Arnold conjecture in the context of $C^0$-symplectic topology are also discussed.

研究の動機と目的

• シンプレクティック的に非アーシャーブルな多様体におけるスペクトルノルムの$C^0$-連続性を確立し、シンプレクティック的にアーシャーブルな場合や特定のケースに対する先行結果を拡張する。
• Buhovsky-Humilière-Seyfaddiniの手法を用いて、複素射影空間$\mathbb{C}P^n$における$C^0$-連続性の別証明を提供する。
• 負の単調なシンプレクティック多様体への$C^0$-連続性結果の拡張を図り、有理的シンプレクティック多様体における部分的な$C^0$-連続性を証明する。
• 連続性結果を$C^0$-シンプレクティック位相幾何学に応用し、$C^0$-アーノルド予想やずらされた円板問題を含む。
• $C^0$-極限を介してハミルトニアンホメオモルフィズムのためのスペクトル不変量を定義し、滑らかなハミルトニアン微分同相写像を超えたスペクトル理論を拡張する。

提案手法

• ハミルトニアン微分同相写像の$C^0$-極限におけるスペクトル不変量の分析を通じて、非アーシャーブルな設定にBuhovsky-Humilière-Seyfaddiniのアプローチを適応する。
• PSS同型を用いて量子ホモロジーとフローリングホモロジーを関連させ、作用フィルトレーションを介したスペクトル不変量の定義を可能にする。
• 不等式$\sigma_{a,a* b}(\phi\psi) \leq \sigma_{a,a* b}(\phi) + \gamma(\psi)$から導かれる、スペクトル不変量$\sigma_{a,a* b}$に対する三角不等式を適用する。ここで$\gamma$はスペクトルノルムである。
• 固定点集合の近傍$U$の外で台を持つ$C^2$-小な関数$f$を用いた摂動論法を採用し、$C^0$-変形下でのスペクトル不変量の制御を行う。
• 文献[BHS18b]の鍵となる主張を用いる：$\phi_{H_k} \to \phi$が$C^0$で収束するとき、十分に小さい$\varepsilon_0$と十分に大きな$k$に対して$c(H_k \# \varepsilon_0 f, a) = c(H_k, a)$が成り立つ。これにより、スペクトル不変量が小刻みな摂動に対して安定であることが保証される。
• ハミルトニアン微分同相写像の$C^0$-収束列に沿った極限を取ることで、$\sigma_{a,a* b}$の$C^0$-連続性を確立し、ハミルトニアンホメオモルフィズムへの拡張を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間$\mathbb{C}P^n$ や負の単調多様体を含む、シンプレクティック的に非アーシャーブルな多様体において、スペクトルノルムは$C^0$-連続か？
• RQ2 Shelukhinのアプローチとは独立して、Buhovsky-Humilière-Seyfaddiniの手法を用いて$\mathbb{C}P^n$におけるスペクトルノルムの$C^0$-連続性を再証明できるか？
• RQ3 有理的シンプレクティック多様体におけるスペクトル不変量の$C^0$-連続性の範囲はどの程度か？
• RQ4 $C^0$-連続性のスペクトル不変量を、ハミルトニアンホメオモルフィズムの不変量として定義するにはどうすればよいか？
• RQ5 $C^0$-連続性の結果が、$C^0$-シンプレクティック位相幾何学に与える影響、たとえば$C^0$-アーノルド予想やずらされた円板問題への影響は何か？

主な発見

• スペクトルノルム$\gamma$は、負の単調なシンプレクティック多様体において$C^0$-連続であり、シンプレクティック的にアーシャーブルな多様体における結果を拡張する。
• 複素射影空間$\mathbb{C}P^n$におけるスペクトルノルムの$C^0$-連続性について、Shelukhinの元の証明とは独立した別証明が得られた。
• 適切なコホモロジー類の条件下で、有理的シンプレクティック多様体におけるスペクトル不変量$\sigma_{a,a* b}$の部分的$C^0$-連続性が証明された。
• スペクトル不変量$\sigma_{a,a* b}$は、$C^0$-極限を介してハミルトニアンホメオモルフィズムへ連続に拡張可能であり、$C^0$-版のスペクトル理論を可能にする。
• $\gamma$および$\sigma_{a,a* b}$の$C^0$-連続性から、$\sigma_{h^{l_1},h^{l_2}}(\phi) = 0$を満たすハミルトニアンホメオモルフィズム$\phi$の固定点集合は、ホモロジカルに非自明な台を持つ必要があることが導かれる。これにより$C^0$-アーノルド予想が得られる。
• ずらされた円板問題に対しては、$\sigma_{h^{l_1},h^{l_2}}(\phi) = 0$を満たすハミルトニアンホメオモルフィズム$\phi$に対して、$\mathrm{Fix}(\phi)$の任意の開近傍がホモロジカルに非自明であることを示し、これにより小刻みなずれは不可能であることを示した。