[論文レビュー] On certain duality of N\'eron-Severi lattices of supersingular K3 surfaces and its application to generic supersingular K3 surfaces

Shigeyuki Kondō, Ichiro Shimada|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アーティン不変量の和が11に等しい超特異K3表面のネロン・セバレー格子の双対性を確立し、これを用いて特異値2および3の特異値10のK3表面における種1のファイブレーションを分類し、そのネフ錐の自己同型群の生成元を特定する。また、周期に基づく「一般性」の概念を導入し、奇数の特異値に対してアーティン不変量が1より大きい場合に一般超特異K3表面が存在することを証明する。

ABSTRACT

Let X and Y be supersingular K3 surfaces defined over an algebraically closed field. Suppose that the sum of their Artin invariants is 11. Then there exists a certain duality between their Neron-Severi lattices. We investigate geometric consequences of this duality. As an application, we classify genus one fibrations on supersingular K3 surfaces with Artin invariant 10 in characteristic 2 and 3, and give a set of generators of the automorphism group of the nef cone of these supersingular K3 surfaces. The difference between the automorphism group of a supersingular K3 surface X and the automorphism group of its nef cone is determined by the period of X. We define the notion of genericity for supersingular K3 surfaces in terms of the period, and prove the existence of generic supersingular K3 surfaces in odd characteristics for each Artin invariant larger than 1.

研究の動機と目的

• アーティン不変量の和が11に等しい超特異K3表面のネロン・セバレー格子の双対性がもたらす幾何的帰結を調査すること。
• 特異値2および3におけるアーティン不変量10の超特異K3表面における種1のファイブレーションを分類すること。
• このようなK3表面のネフ錐の自己同型群の生成元の集合を特定すること。
• 周期に基づく「一般性」の定義を行い、奇数の特異値においてアーティン不変量が1より大きい場合に一般超特異K3表面が存在することを示すこと。

提案手法

• アーティン不変量の和が11に等しい超特異K3表面のネロン・セバレー格子の双対性を用いて幾何的性質を導出する。
• 正の特異値の代数閉体上での格子論的および算術的技法を用いてファイブレーションを分析する。
• 超特異K3表面の周期を主要な不変量として用い、一般性を定義・特徴付ける。
• 周期を用いてK3表面自身の自己同型群とそのネフ錐の自己同型群の違いを区別する。
• 格子の双対性と特異値特有の幾何学を用いてネフ錐の構造およびその自己同型群を分析する。
• 周期に基づく基準を用いて、奇数の特異値においてアーティン不変量が1より大きい場合に一般超特異K3表面が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーティン不変量の和が11に等しい超特異K3表面のネロン・セバレー格子の双対性から生じる幾何的帰結は何か？
• RQ2 特異値2および3におけるアーティン不変量10の超特異K3表面における種1のファイブレーションはどのように分類できるか？
• RQ3 特異値2および3におけるアーティン不変量10の超特異K3表面のネフ錐の自己同型群の構造は何か？
• RQ4 超特異K3表面の周期は、その自己同型群とネフ錐の自己同型群との違いにどのように影響するか？
• RQ5 一般超特異K3表面を定義する条件は何か？また、奇数の特異値においてアーティン不変量が1より大きい場合にそのような表面は存在するか？

主な発見

• 特異値2および3におけるアーティン不変量10の超特異K3表面における種1のファイブレーションは完全に分類された。
• これらのK3表面のネフ錐の自己同型群の有限生成集合が明示的に特定された。
• 超特異K3表面自身の自己同型群とそのネフ錐の自己同型群との差は、表面の周期によって完全に特徴付けられる。
• 周期に基づく新しい超特異K3表面の一般性の概念が定義され、幾何的および算術的基準が与えられた。
• 奇数の特異値において、アーティン不変量が1より大きいすべての値に対して一般超特異K3表面が存在する。