[論文レビュー] On certain products of algebraic groups over a finite field

Toshiro Hiranouchi|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特徴数 $\neq 2$ の有限体上の滑らかで連結かつ可換な代数群 $G_1, \dots, G_n$ に対して、再帰的ファンクター $T(G_1, \dots, G_n)$ が $\operatorname{Spec} F$ で消えること、およびマッケイファンクターのテンソル積 $(G_1 \otimes_M \cdots \otimes_M G_n)(\operatorname{Spec} F)$ が有限であること、を確立する。これらの結果は、有限体上の開曲線の積に対する相対チャウ群 $\operatorname{CH}_0(X,D)$ およびアーベル基本群の幾何的部部分の有限性を示し、古典的類体論を拡張する。

ABSTRACT

Let G_1,...,G_q be algebraic varieties over a finite field k. We show that, if q >1, the finiteness of the tensor product of G_1, ...,G_q as Mackey functors. We apply this to prove the finiteness of a relative Chow group and an abelian fundamental group which classifies abelian coverings with bounded ramification along the boundary.

研究の動機と目的

• 特徴数 $\neq 2$ の有限体 $F$ 上の $n \geq 2$ および滑らかで連結かつ可換な代数群 $G_i$ に対して、再帰的ファンクター $T(G_1, \\dots, G_n)(\operatorname{Spec} F)$ が消えることを証明すること。
• このような群に対してマッケイファンクターのテンソル積 $(G_1 \otimes_M \cdots \otimes_M G_n)(\operatorname{Spec} F)$ が有限であることを確立すること。
• これらの結果を応用し、有限体上の開曲線の積 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ および境界に台を持つ除集合 $D$ に対して、相対チャウ群 $\operatorname{CH}_0(X,D)$ およびアーベル基本群 $\pi_1(X,D)^{\mathrm{ab},0}$ の幾何的部部分の有限性を証明すること。

提案手法

• 有限体上の滑らかで連結かつ可換な代数群に付随する再帰的ファンクター $\mathscr{M}_i$ に対して、Ivorra と Rülling が定義した再帰的ファンクター $T(\mathscr{M}_1, \dots, \mathscr{M}_n)$ の使用。
• マッケイファンクターのテンソル積から再帰的ファンクターへの自然な全射：$(\mathscr{M}_1 \otimes_M \cdots \otimes_M \mathscr{M}_n)(\operatorname{Spec} F) \twoheadrightarrow T(\mathscr{M}_1, \dots, \mathscr{M}_n)(\operatorname{Spec} F)$ の活用。
• Somekawa $K$-群に関する既知の結果を適用し、群が半アーベル的である場合には $n > 1$ のときの消えることの一般化を、構造論を用いて滑らかで連結かつ可換な一般群へ拡張すること。
• 半アーベル簇に対しては $T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F) \simeq K(F; G_1, \dots, G_n)$ という同型を用いて消えることを導出すること。
• テンソル積の有限性を応用し、$X = X_1 \times \cdots \times X_n$ および $D$ がコンパクト化の境界に台を持つとき、相対チャウ群 $\operatorname{CH}_0(X,D)$ の有限性を示すこと。
• 局所類体論およびイデール的記述を用いて $\operatorname{CH}_0(X,D)$ をアーベル基本群 $\pi_1(X,D)^{\mathrm{ab},0}$ と関連づけ、その有限性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴数 $\neq 2$ の有限体上に滑らかで連結かつ可換な代数群 $G_1, \dots, G_n$ が存在するとき、$n \geq 2$ に対して再帰的ファンクター $T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F)$ は消えるか？
• RQ2 このような群および $n \geq 2$ に対して、マッケイファンクターのテンソル積 $(G_1 \otimes_M \cdots \otimes_M G_n)(\operatorname{Spec} F)$ は有限か？
• RQ3 有限体上の開曲線の積 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ および境界に台を持つ除集合 $D$ に対して、相対チャウ群 $\operatorname{CH}_0(X,D)$ は有限のままであるか？
• RQ4 これらの条件下で、アーベル基本群 $\pi_1(X,D)^{\mathrm{ab},0}$ の幾何的部部分は有限であると示せるか？
• RQ5 これらの結果は、曲線に対する古典的類体論を、高次元の曲線の積へどの程度一般化できるか？

主な発見

• 特徴数 $\neq 2$ の有限体上の $n \geq 2$ および滑らかで連結かつ可換な代数群 $G_i$ に対して、再帰的ファンクター $T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F)$ は恒等的に消える。
• このような群および $n \geq 2$ に対して、マッケイファンクターのテンソル積 $(G_1 \otimes_M \cdots \otimes_M G_n)(\operatorname{Spec} F)$ は有限である。
• 有限体上の開曲線の積 $X = X_1 \times \cdots \times X_n$ およびコンパクト化上の有効除集合 $D$ が境界に台を持つとき、相対チャウ群 $\operatorname{CH}_0(X,D)$ は有限である。
• このような $X$ および $D$ に対して、アーベル基本群 $\pi_1(X,D)^{\mathrm{ab},0}$ の幾何的部部分は、$\operatorname{CH}_0(X,D)$ の有限性および再帰的写像の性質から有限である。
• これらの結果は、相対チャウ群および基本群の有限性を用いて、有限体上の開曲線の積に対する未分岐類体論を、分岐設定へ拡張する。
• 証明は、$T(G_1, \dots, G_n)(\operatorname{Spec} F)$ と Somekawa の $K$-群 $K(F; G_1, \dots, G_n)$ の同型、および $G_i$ が半アーベル的であるときの後者による既知の消えることの一般化に依拠している。