[論文レビュー] On certain properties of the Weinstein functional on Riemannian manifolds

Mayukh Mukherjee|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、超空間 $ℝ^n$ におけるワインスタイン汎関数を調査し、その上界値がユークリッド空間 $ℝ^n$ と同一であることを証明している。しかし、$ℝ^n$ とは異なり、この最大値はソボレフ空間 $H^1(ℝ^n)$ 内では達成されない。この結果は ©{CMMT} の予想を裏付け、分数階ラプラシアンの設定へと拡張され、$ℝ^n$ 上のガリャルド＝ニレングラート不等式における極値関数の存在に関する長年の疑問を解消する。

ABSTRACT

We make a study of Weinstein functionals, first defined in ~\cite{W}, on the hyperbolic space $\mathbb{H}^n$. We are primarily interested in the existence of Weinstein functional maximisers, or, in other words, existence of extremal functions for the best constant of the Gagliardo-Nirenberg inequality. The main result is that the maximum value of the Weinstein functional on $\mathbb{H}^n$ is the same as that on $\mathbb{R}^n$ and the related fact that the maximum value of the Weinstein functional is not attained on $\mathbb{H}^n$, when maximisation is done in the Sobolev space $H^1(\mathbb{H}^n)$. This proves a conjecture made in ~\cite{CMMT} and also answers questions raised in several other papers (see, for example, ~\cite{B}). We also prove that a corresponding version of the conjecture will hold for the Weinstein functional with the fractional Laplacian as well.

研究の動機と目的

• 超空間 $ℝ^n$ におけるワインスタイン汎関数の最大値の存在を調査すること。
• $ℝ^n$ 上のガリャルド＝ニレングラート不等式における最良定数が $H^1(ℝ^n)$ 内で達成されるかどうかを特定すること。
• $ℝ^n$ 上でのワインスタイン汎関数最大値の達成不能性に関する ©{CMMT} の予想を検証すること。
• 結果を分数階ラプラシアンの設定へと拡張し、類似の予想が成り立つことを証明すること。

提案手法

• $ℝ^n$ 上での $L^p$ ノルムと $H^1$ 半ノルムを用いたワインスタイン汎関数の分析。
• 変分法を用いて、$ℝ^n$ 上でのワインスタイン汎関数の上界値が $ℝ^n$ と同一であるかを比較すること。
• $H^1(ℝ^n)$ 上の非コンパクト多様体におけるコンパクト性の欠如を調べるための集中・縮退原理の応用。
• $ℝ^n$ と $ℝ^n$ 上での汎関数を比較するための対称化および再配置技術の使用。
• 分数ソボレフ空間と関連するガリャルド＝ニレングラート不等式を用いた、結果の分数階ラプラシアンへの拡張。
• 背理法による非達成性の証明および最大化列の漸近的挙動の分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超空間 $ℝ^n$ 上でのワインスタイン汎関数の最大値は、$ℝ^n$ 上のそれと同一か？
• RQ2 超空間上でのワインスタイン汎関数は $H^1(ℝ^n)$ 内でその上界値を達成するか？
• RQ3 $ℝ^n$ 上での汎関数最大値の達成不能性に関する ©{CMMT} の予想は真実か？
• RQ4 非達成性の結果は分数階ラプラシアンの設定へと拡張可能か？
• RQ5 $ℝ^n$ 上のガリャルド＝ニレングラート不等式の最良定数とその達成可能性の関係は何か？

主な発見

• 超空間 $ℝ^n$ 上でのワインスタイン汎関数の上界値は、$ℝ^n$ 上のそれと同一である。
• 超空間上でのワインスタイン汎関数の最大値は、ソボレフ空間 $H^1(ℝ^n)$ 内では達成されない。
• $ℝ^n$ 上での汎関数最大値の達成不能性に関する ©{CMMT} の予想は確認された。
• 分数階ラプラシアンを含むワインスタイン汎関数に対しても、類似の予想が成り立つ。
• 達成不能性は、$ℝ^n$ の非コンパクト性およびこの設定下でのコンドラチョフ埋め込みの失敗に起因する。
• 上界値が同一であるにもかかわらず、$ℝ^n$ と $ℝ^n$ 上での汎関数の挙動には明確な対比が存在する。