[论文解读] On $(\chi,b)$-factors of Cuspidal Automorphic Representations of Unitary Groups I

Dihua Jiang, Chenyan Wu|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文引入了一类新的单位群摄动自守表示的周期积分，通过θ对应与内播分类，将它们的极点与全局Arthur参数ψσ中简单全局Arthur参数(χ, b)的出现相联系。关键结果表明，某些周期积分的非零性可检测(χ, b)在ψσ中的首次出现，将先前针对正交群的工作推广至单位群，利用改进的θ对应与Eisenstein级数正则化。

ABSTRACT

Following the idea of [GJS09] for orthogonal groups, we introduce a new family of period integrals for cuspidal automorphic representations $\sigma$ of unitary groups and investigate their relation with the occurrence of a simple global Arthur parameter $(\chi,b)$ in the global Arthur parameter $\psi_\sigma$ associated to $\sigma$, by the endoscopic classification of Arthur ([Art13], [Mok13], [KMSW14]). The argument uses the theory of theta correspondence. This can be viewed as a part of the $(\chi,b)$-theory outlined in [Jia14] and can be regarded as a refinement of the theory of theta correspondences and poles of certain $L$-functions, which was outlined in [Ral91].

研究动机与目标

• 将检测Arthur参数出现的周期积分理论从正交群推广至单位群。
• 建立一个框架，将L函数L(s, σ × χ)的极点与单位群摄动自守表示σ的全局Arthur参数(χ, b)在ψσ中的出现相联系。
• 发展一类新的周期积分家族，适用于单位群的非分裂性质，克服先前正交群构造的局限性。
• 利用Arthur的内播分类与θ对应，完善单位群背景下L函数极点与非零性的理论。

提出的方法

• 通过Eisenstein级数傅里叶系数的直接计算，受Li关于Eisenstein级数傅里叶系数工作的启发，为单位群引入一类新的周期积分家族。
• 应用θ对应理论，将周期积分的非零性与(χ, b)在ψσ中的首次出现相联系。
• 利用Arthur的内播分类解释全局Arthur参数ψσ，并确定(χ, b)作为分量出现的条件。
• 通过Arthur截断对周期积分进行正则化，以确保收敛性，特别是对于具有主形式支持χ ⊗ σ的Eisenstein级数的留数。
• 通过分析未幂零结构并利用先前研究的收敛性结果，建立在特定子群R₀₁上的周期积分的绝对收敛性。
• 利用θ提升的傅里叶系数检测消失行为，表明非零性意味着首次出现已被实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将周期积分适配于检测单位群中全局Arthur参数ψσ内简单全局Arthur参数(χ, b)的出现？
• RQ2 L(s, σ × χ)的极点与单位群摄动自守表示σ中(χ, b)在ψσ中的首次出现之间存在何种精确关系？
• RQ3 如何利用θ对应与Eisenstein级数理论检测(χ, b)在ψσ中的首次出现，特别是在目标群非F-分裂的情况下？
• RQ4 子空间Z与酉空间Y₀需满足何种结构条件，以确保周期积分的绝对收敛性与非零性？
• RQ5 某些θ提升的傅里叶系数的消失如何对(χ, b)在ψσ中的首次出现施加约束？

主要发现

• 当Re(s) > (b+1)/2时，LS(s, σ × χ)解析且在s = (b+1)/2处有一阶极点，且b = 0，周期积分∫_{[G(Z)]} f(g)θψF,χ1,χ2,X,Y₀(g, 1, φ)dg绝对收敛且不为零。
• 当首次出现LOψ,χ(σ ⊗ χ⁻¹) ≤ dim X时，在χ与酉空间Y₀的维数满足特定条件时，周期积分的非零性得以保证。
• 对于包含一个迷向向量z₀的非退化子空间Z（dim Z = dim X − (r − 2)），在R₀₁ ⊂ G(Z)上的积分对所有f ∈ σ与Φ ∈ S((RE/F(Y₀⊗X))+(A))恒为零，表明对首次出现存在约束。
• 傅里叶系数∫_{[N′]} ∫_{[G(Y)]} θψ,χ1,χ2,W,Y(n(β)g, h, Φ)f(h)ψE,ec(β) dhdn的消失意味着R₀₁上的内积分必须消失，从而将首次出现约束于更高的Witt指标。
• 内积分∫_{[R₀₁]} θX₀,Y(1, h′, φ′)f(h′)dh′对所有φ′与f ∈ σ恒为零，表明首次出现无法在此层次实现，除非数据被选择以避开此类子群。
• 周期积分的结构及其收敛性由Witt指标与酉部分的维数决定，临界情形出现在dim Z = dim X − r + 2时。