[論文レビュー] On co-amenability for groups and von Neumann algebras

Nicolas Monod, Sorin Popa|ArXiv.org|Jan 30, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、1972年にエイマールが提起した長年の問いを解決し、共アーメニティが部分群にまで拡張されないことを明示的な反例によって示している。これは正規性が存在しても同様に成り立つ。さらに、群における共アーメニティとフォン・ノイマン代数における共アーメニティの深い関係を確立し、群の文脈における共アーメニティが中間部分代数において共アーメニティを保証しないことを示し、タイプII₁因子において中間包含を通じて共アーメニティが成立しない例を提供している。

ABSTRACT

We first show that co-amenability does not pass to subgroups, answering a question asked by Eymard in 1972. We then address co-amenability for von Neumann algebras, describing notably how it relates to the former.

研究の動機と目的

• 群論における共アーメニティが部分群にまで拡張されるか否かを問う1972年のエイマールの問いを解決すること。
• 群における共アーメニティとフォン・ノイマン代数における共アーメニティの関係を明確にすること。
• 共アーメニティが中間部分群や中間部分代数を通じて拡張されないような群およびフォン・ノイマン代数の明示的例を構成すること。
• 群の文脈における共アーメニティが、対応する群フォン・ノイマン代数の文脈において共アーメニティを意味しないことを示すこと。
• タイプII₁因子 $N_0 \subset N \subset M$ において、$N_0$ が $M$ で共アーメニティであるが $N$ で共アーメニティでない例を提供すること、特に性質(T)またはICC構造を有する場合を含む。

提案手法

• モノモルフィズム $\vartheta: K \to K$ を用いて HNN 拡大 $G = K*_{\vartheta}$ を構成し、$K$ が $G$ で共アーメニティであるが $H_0 = t^{-1}Kt$ で共アーメニティでない反例を生成すること。
• 点質量 $t^{-k}K$ の弱-*極限を用いて $\ell^\infty(G/K)$ 上の $H$-不変平均の存在を示し、$K$ が $G$ で共アーメニティであることを証明すること。
• 有界ホモロジー理論を用いて、双対バナッハ $G$-加群 $V$ に対して制限写像 $H^n_b(G,V) \to H^n_b(H,V)$ の核の性質を特徴づけ、共アーメニティを特徴づけること。
• 基本構成に関して、ノルム1の射影 $\Psi: \langle N,B\rangle \to N$ の存在を用いてフォン・ノイマン部分代数の共アーメニティを定義すること。
• 超積構成とヒルベルト空間上のハイパフィニートII₁因子 $R^\omega$ を用いて、フォン・ノイマン代数の文脈における共アーメニティ包含の例を構築すること。
• コンヌの超積および正規化子理論を適用し、$\mathcal{G}$ に非アーメニティ群を含む場合、$R\vee R_\omega$ が $N = (R\vee R_\omega) \rtimes \mathcal{G}$ において共アーメニティでないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $G$ における部分群 $K$ の共アーメニティが、任意の中間部分群 $H$ においても共アーメニティであるか？
• RQ2 部分群が中間群において正規であっても、共アーメニティが部分群にまで拡張されないことがあるか？
• RQ3 群における共アーメニティと、それに対応する群フォン・ノイマン代数における共アーメニティの関係は何か？
• RQ4 タイプII₁因子 $N_0 \subset N \subset M$ において、$N_0$ が $M$ で共アーメニティであるが $N$ で共アーメニティでない例はあるか？
• RQ5 群の文脈における共アーメニティが、フォン・ノイマン代数の文脈において共アーメニティを意味しないことはあるか、特に群が性質(T)を有する場合を含むか？

主な発見

• 本論文は、$K \lhd H_0 < G$ なる三重組を構成し、$K$ が $G$ で共アーメニティであるが $H_0$ で共アーメニティでないことを示し、エイマールの1972年の問いに対して否定的解答を与えた。
• 任意の群 $Q$ に対して、$K \lhd H_0 < G$ なる三重組が存在し、$K$ は $G$ で共アーメニティであり、$H_0/K \cong Q$ である。$Q$ が有限生成かつICCであれば、$G$ も有限生成かつICCである。
• 群 $G$ を $Q \wr \mathbb{Z}$ として構成した制限ワルピング積は、$Q$ がICC、無限階、有限提示をもてば、ICC、ねじれなし、有限提示である。
• フォン・ノイマン部分代数 $B$ が $N$ で共アーメニティであることは、基本構成に関してノルム1の射影 $\Psi: \langle N,B\rangle \to N$ の存在と同値である。
• タイプII₁因子の包含 $N_0 \subset N \subset M$ において、$N_0$ が $M$ で共アーメニティであるが $N$ で共アーメニティでない例が存在する。これは $N$ が $N_0$ に対して相対的性質(T)を有する場合でも成立する。
• 群 $\mathcal{G}$ に非アーメニティ群（例えば性質(T)群）を含む場合、$N = (R\vee R_\omega) \rtimes \mathcal{G}$ は $R\vee R_\omega$ に対して共アーメニティでない。