[論文レビュー] On Cobweb posets tiling problem

Maciej Dziemiańczuk|ArXiv.org|Sep 26, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、組合せ的数列によって定義されるコブウェブposet（部分順序集合）のタイル張り問題を調査する。有限層が最大互いに素なブロック $\sigma P_m$ の集合に分割可能である条件を同定する。著者らは、自然数列およびフィボナッチ数列に対して再帰的分割アルゴリズムを用いてタイル張りが可能であることを証明するが、すべてのコブウェブ許容列がタイル張り可能であるとは限らないことを示し、二つのタイル張り可能列の積がタイル張り許容とは限らないことを示している。

ABSTRACT

Kwasniewski's cobweb posets uniquely represented by directed acyclic graphs are such a generalization of the Fibonacci tree that allows joint combinatorial interpretation for all of them under admissibility condition. This interpretation was derived in the source papers and it entailes natural enquieres already formulated therein. In our note we response to one of those problems. This is a tiling problem. Our observations on tiling problem include proofs of tiling's existence for some cobweb-admissible sequences. We show also that not all cobwebs admit tiling as defined below.

研究の動機と目的

• コブウェブposetのKwaśniewskiの未解決タイル張り問題に取り組むこと、具体的には有限層が最大互いに素なブロック $\sigma P_m$ に分割可能かどうかを検討すること。
• このようなタイル張りを許容するコブウェブ許容列を特定するための有効な特徴づけやアルゴリズムを同定すること。
• 点乗積（pointwise multiplication）におけるタイル張り可能列の閉包性を検討すること、特に二つのタイル張り可能列の積が依然としてタイル張り許容であるかどうかを検証すること。
• 自然数やフィボナッチ数など特定の数列に対して、再帰的分割を用いた構成的証明によりタイル張りの存在を示すこと。
• 反例を用いて、すべてのコブウェブ許容列がタイル張り許容ではないことを示し、積演算におけるタイル張りの閉包性に疑問を呈すること。

提案手法

• 層 $\langle\Phi_k \to \Phi_n\rangle$ を再帰的に $m$ 階層のブロック $P_m$ を頂点 $\Phi_n$ から分離することで分割する再帰的タイル張りアルゴリズム（cprta1）を提案する。
• 自然数列では $n_F = m_F + k_F$ の性質を用い、$\Phi_n$ 上の頂点を二つの互いに素な部分集合に分割してブロックに割り当てる。
• レベルの順列（$\sigma$）を用いて層を再配置し、より小さなブロック $\sigma P_{m-1}$ を用いて再帰的に部分層 $\langle\Phi_k \to \Phi_{n-1}\rangle$ をタイル張り可能にする。
• タイル張りの可能性の基礎として、$\binom{n}{k}_F \in \mathbb{N}_0$ を満たすコブウェブ許容列の概念を用いる。
• 周期 $M$ で値 $c$ をとる周期的数列 $B_{c,M}$ を分析し、層のレベルサイズがブロックサイズで割り切れる場合、タイル張りが可能であることを示す。
• 数列の点乗積（例：$A \cdot B$）を用いて新たな数列を生成し、各レベルの頂点数の構造的解析を通じてタイル張り可能性をテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限コブウェブ部分poset層 $\langle\Phi_k \to \Phi_n\rangle$ が最大互いに素なブロック $\sigma P_m$ に分割可能となる条件は何か？
• RQ2 コブウェブ許容列に対して、このようなタイル張りを構成する有効なアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 二つのコブウェブタイル張り可能列の点乗積は、依然としてタイル張り許容列であるか？
• RQ4 コブウェブ許容列が $\sigma P_m$ ブロックによるタイル張りを許容するための必要十分条件は何か？
• RQ5 周期性や可除性などの性質を用いて、タイル張り性を組合せ論的または代数的に特徴づけることは可能か？

主な発見

• 自然数列 $F_n = n$ に対しては、cprta1アルゴリズムにより再帰的分割が可能であり、頂点数の分解を用いて層を分割可能である。
• フィボナッチ数列に対してもタイル張りが可能である。これは、例えばゼッケンドルフ表現などの構造的性質がブロック分割を可能にするが、ここでは詳細な証明は示さない。
• 反例として、二つのタイル張り許容列 $A = 1,2,1,2,\ldots$ と $B = 1,1,3,1,1,3,\ldots$ の積 $F = 1,2,3,2,1,6,1,\ldots$ を構成し、層 $\langle\Phi_5 \to \Phi_7\rangle$ におけるタイル張りが不可能であることを示した。
• $\Phi_5, \Phi_6, \Phi_7$ の各レベルに頂点数 $1,6,1$ がある層 $\langle\Phi_5 \to \Phi_7\rangle$ は、$\sigma P_3$ ブロックではタイル張り不可能である。これはレベルサイズとブロックサイズの不一致に起因する。
• 二つのタイル張り可能列の点乗積が必ずしもタイル張り可能とは限らない。反例によりこのことが示された。
• 周期 $M$ で $c$ をとる周期的数列 $B_{c,M}$ は、層のレベルサイズが対応するブロックサイズで割り切れる場合、タイル張り許容である。この場合、$c$ 重のブロック複製によりタイル張りが可能である。