[論文レビュー] On completely factoring any integer efficiently in a single run of an order finding algorithm

Martin Ekerå|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ランダムに選ばれた Z∗_N 内の要素の位数 r を与えた場合、ミラーのアルゴリズムを用いて古典的にすべての素因数を回復することで、非常に高い確率で任意の奇数の整数 N を完全に因数分解できることを示している。位数 r が与えられれば、この手法は多項式時間で N の完全な素因数分解を効率的に計算でき、Shorのアルゴリズムの量子部が一度の実行で完全因数分解に十分であることが保証される。

ABSTRACT

We show that given the order of a single element selected uniformly at random from $\mathbb Z_N^*$, we can with very high probability, and for any integer $N$, efficiently find the complete factorization of $N$ in polynomial time. This implies that a single run of the quantum part of Shor's factoring algorithm is usually sufficient. All prime factors of $N$ can then be recovered with negligible computational cost in a classical post-processing step. The classical algorithm required for this step is essentially due to Miller.

研究の動機と目的

• 1回の量子位数探索の実行で、任意の整数 N を完全に因数分解できることを示すこと。
• 1つの位数 r からの古典的回復によって、Shorのアルゴリズムにおける再帰的量子呼び出しの必要性を排除すること。
• 奇数の位数や小さな素因数を持つ位数でさえも因数分解に有効に利用できることを示し、Shorの元来の手法を改善すること。
• 任意の合成数 N に対して、高い確率で動作する決定的古典的後処理手法を提供すること。
• パrameter c と k を調整することで、失敗確率を任意に小さくできることを示すこと。

提案手法

• Z∗_N からランダムに選ばれた g ∈ Z∗_N の位数 r を古典的アルゴリズムの入力とする。
• r をその素因数冪に分解し、小さなおよび中程度の素因数を特定する。
• r の各素因数 q に対して、gcd((g^{r/q} − 1) mod N, N) を計算して、N の非自明な因数があるかをテストする。
• これらの素因数（重複を含む）のすべての組み合わせを試行することで、非自明な因子が見つかる確率を最大化する。
• 中国剰余定理と pi−1 の既知の因数分解を用いて、テストのための古典的位数探索をシミュレートする。
• 失敗確率を制御するため、m′ = cm を定義するパrameter c と反復回数 k を調整する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的量子呼び出しを伴わずに、1回の量子位数探索で任意の整数 N を完全に因数分解できるか？
• RQ2 1つの位数 r から N のすべての素因数を回復する確率は何か？ そして、その確率をどのように最大化できるか？
• RQ3 奇数の位数や小さな素因数を持つ位数を、N の非自明な因数を回復するために効果的に利用できるか？
• RQ4 ミラーの手法に基づく古典的後処理ステップは、N の異なる素因数の数に応じてどのようにスケーリングされるか？
• RQ5 古典的回復アルゴリズムの失敗確率のタイトな上限は何か？

主な発見

• アルゴリズムは、失敗確率が 2^{-k} * (n choose 2) + 1/(2c² log² cm) で抑えられる多項式時間で N を完全に因数分解する。ここで n は異なる素因数の数である。
• k = (2 + τ) log n（τ ≥ 1）と選べば、失敗確率 ≤ n^{-τ} にできる。これにより、失敗確率を任意に小さくできる。
• 任意の合成数 N に対して、高い確率で1つの位数 r からすべての素因数を効率的に回復できる。
• r が奇数であっても、または gr/2 ≡ -1 mod N であっても、r の小さな素因数を活用することで、非自明な因数を回復できる。
• Sage でのシミュレーションにより、25個までの素因数を持つ N に対しても、標準的なハードウェアで数秒から数分の時間ですべての因数を正常に回復していることが確認された。
• 時間計算量は、k 個の N を法とする指数計算（各々 O(m)-ビットの指数を伴う）に支配され、古典的後処理が非常に効率的である。