[論文レビュー] On conformal maps from multiply connected domains onto lemniscatic domains

Olivier Sète, Jörg Liesen|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Analytic and geometric function theory参考文献 37被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、多重連結領域からレミスティック領域への共形写像の一般的構成原理を提示する—リーマン写像定理を多重連結集合へ一般化するものである。単純連結な前像領域のリーマン写像を活用し、ブラシケ積とモビウス変換を用いた変換を適用することで、放射状スリット領域および2つの円盤領域に対してレミスティック写像を明示的に構成する。本稿は、このような写像の最初の解析的例を提供し、ファーバー＝ウォルシュ多項式の定義を可能にする。

ABSTRACT

We study conformal maps from multiply connected domains in the extended complex plane onto lemniscatic domains. Walsh proved the existence of such maps in 1956 and thus obtained a direct generalization of the Riemann mapping theorem to multiply connected domains. For polynomial pre-images of simply connected sets we derive a construction principle for Walsh's conformal map in terms of the Riemann map for the simply connected set. Moreover, we explicitly construct examples of Walsh's conformal map for certain radial slit domains and circular domains.

研究の動機と目的

• 多重連結領域に対するリーマン写像定理の一般化を、レミスティック領域を標準形として行う。
• 従来は存在が示唆されていただけのレミスティック領域への共形写像の計算手法を構成的に提供する。
• 放射状スリット領域および円形領域に対して、レミスティック写像の明示的例を導出することで、文献における空白を埋める。
• 複数の成分を持つコンパクト集合に対してファーバー＝ウォルシュ多項式を構成可能にする。これにより、古典的多項式近似理論を拡張する。
• 対数的容量およびグリーン関数の数値計算を、レミスティック写像を用いて支援する。

提案手法

• 構成法は、単純連結な前像領域のリーマン写像を用い、それをモビウス変換およびブラシケ積と合成することで、レミスティック領域への写像を実現する。
• 放射状スリット領域に対しては、スリット外部から円盤外部への共形写像を適用し、その後、ジューコフスキー型写像を用いてレミスティック領域へ変換する。
• 2つの等円盤に対しては、モビウス変換を用いて円盤外部を対称的なスリットを持つ領域に写像し、その後、有理関数を適用してレミスティック形式に達する。
• 正規化条件 Φ(∞) = ∞ および Φ′(∞) = 1 はスケーリングと対称性を用いて強制され、無限遠点におけるローラン展開に定数項が存在しないことを保証する。
• レミスティック領域は {w : |U(w)| > μ} として定義され、ここで U(w) = ∏(w − aj)^mj で ∑mj = 1 であり、μ > 0 は補集合の対数的容量が μ に等しくなるように選ばれる。
• 本手法は、アニュラスへの共形写像と有理関数の合成を用いることで、任意の二重連結領域へ一般化可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 存在証明にとどまらず、多重連結領域からレミスティック領域への共形写像を構成的に開発することは可能か？
• RQ2 放射状スリット領域や円形領域といった特定の領域に対して、どのようにしてレミスティック写像を明示的に構成できるか？
• RQ3 レミスティック写像を用いて、コンパクト集合の補集合の対数的容量およびグリーン関数を計算できるか？
• RQ4 対称性と正規化が、Φ(∞) = ∞ および Φ′(∞) = 1 を満たすレミスティック写像を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 既知のアニュラスへの共形写像を用いて、任意の二重連結領域に対するレミスティック写像をどのように一般化できるか？

主な発見

• 本稿は、n個の放射状スリット外部へのレミスティック共形写像の最初の明示的解析的構成を提供する。これはリーマン写像とブラシケ積の合成により導出される。
• 2つの等円盤外部への明示的レミスティック写像が構成され、対応するレミスティック領域は |U(w)| > μ として定義され、ここで U(w) は2つの極を持つ有理関数である。
• 構成された写像は正規化条件 Φ(∞) = ∞ および Φ′(∞) = 1 を満たしており、無限遠点におけるローラン展開に定数項が存在しないことを保証する。
• コンパクト集合 E = C ∓ K の対数的容量は、レミスティック領域定義におけるパラメータ μ に等しく、直接的な容量計算が可能になる。
• 領域 K に対するグリーン関数は gK(w) = log|U(w)| − log μ として明示的に与えられ、レミスティック写像から直接得られる。
• 本手法は、アニュラスへの共形写像と有理関数の合成を用いることで、任意の二重連結領域へ一般化可能であり、同一の正規化を満たすレミスティック写像が得られる。