[論文レビュー] On constructing complete permutation polynomials over finite fields of even characteristic

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限体の偶数特性において、相対的トレース関数と線形化多項式に基づく再帰的メソッドを用いて、完全置換多項式（CPP）の構成を一般化する。さらに、既知のCPPの合成逆関数を計算することで、新しいCPPクラスを導出し、奇数次拡大体における既知のCPPの集合を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, a construction of complete permutation polynomials over finite fields of even characteristic proposed by Tu et al. recently is generalized in a recursive manner. Besides, several classes of complete permutation polynomials are derived by computing compositional inverses of known ones.

研究の動機と目的

• Tuら（2013）が示した既知のクラスを超えて、偶数特性の有限体における完全置換多項式（CPP）の構成を一般化すること。
• 相対的トレース関数と線形化多項式を用いて、拡大体 F_{2^{nm}} におけるCPPの再帰的構成法を開発すること。
• 既知の単項式および三項式CPPの合成逆関数を計算することで、新しいCPPクラスを導出すること。
• 構成されたCPPの合成逆関数に対して明示的な公式を提供することにより、暗号理論および符号理論における応用性を高めること。

提案手法

• 定理1.2を一般化し、F_{2^{3m}} 上の三項式 F(x) = x^{2^{2m}+1} + x^{2^m+1} + vx を、奇数 n に対して F(x) = x(L(tr(x)) + u tr(x) + u x) + v x として F_{2^{nm}} 上に拡張する。
• 相対的トレース関数 tr: F_{2^{nm}} → F_{2^m} を用い、F(x) = xL(tr(x)) + u x tr(x) + u x^2 + v x を構成する。ここで L(x) は線形化多項式である。
• 再帰的枠組みを適用：F_{2^m} 上で xL(x) + v x がCPPである限り、奇数 n に対して F(x) は F_{2^{nm}} 上でCPPである。
• WuとLiu（2013）の技術を用いて、構成されたCPPの合成逆関数を計算し、明示的な逆関数公式を可能にする。
• ラグランジュ補間と代数的変形を用い、tr(x) の値に応じた場合分けを行い、トレース条件下での累乗和に関する恒等式を用いる。
• CPPの合成逆関数が再びCPPであることを確立し、既知のものから新しいクラスを生成可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定理1.2における完全置換多項式の構成は、F_{2^m} 上の任意の奇数次拡大次数に一般化可能か？
• RQ2 偶数特性の有限体における完全置換多項式の合成逆関数を明示的に計算する方法は何か？
• RQ3 トレース関数と線形化多項式を用いて、F_{2^m} 上のCPPから F_{2^{nm}} 上のCPPを構成する再帰的構造は何か？
• RQ4 逆関数の計算を用いて、既知のものから新しい完全置換多項式のクラスを体系的に導出可能か？
• RQ5 構成された多項式が完全置換多項式のままであるためのパラメータ（例：v, u, m, n）の必要十分条件は何か？

主な発見

• xL(x) + v x が F_{2^m} 上でCPPであり、v ∈ F_{2^m} \{0,1\} である限り、F(x) = x(L(tr(x)) + u tr(x) + u x) + v x は F_{2^{nm}} 上でCPPである。
• WuとLiu（2013）の技術を用いて、構成されたCPPの合成逆関数が明示的に決定され、累乗和とトレース関数を含む閉形式の式が得られる。
• F(x) = x(tr_{m}^{nm}(x) + x) + v x の特定のケースにおいて、定理1.2がすべての奇数 n に一般化され、F_{2^{3m}} における既知のクラスが F_{2^{nm}} に拡張される。
• 多項式 F(x) の逆関数は、tr(x) の値に応じた3つのケースに分けてラグランジュ補間により表現され、[13, Lemma 3.5] の恒等式を用いて簡略化される。
• 既知のサブフィールドからのCPPを引き上げることで、F_{2^{nm}} 上に新しい再帰的CPPクラスが得られ、そのような多項式の既知の族が著しく拡張される。
• 未解決問題として、2の累乗次である拡大次数を持つ分岐拡大体 F_{2^{2^e}} 上での完全置換多項式の構成が提示される。