[論文レビュー] On Contractions of smooth varieties

Marco Andreatta, Jarosław A. Wiśniewski|ArXiv.org|May 23, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、$-K_X$-ampleな写像を伴う滑らかな複素4次元多様体の良い収縮において、孤立した2次元ファイバーを分類し、そのようなファイブレーションの完全な幾何学的およびスキーム論的記述を提供する。有理曲線の変形理論と吹き上げ技法を用いて、ファイバーの余接 bundle が全体的に生成されていることを証明し、特異点における底の吹き上げを通じた因数分解を可能にし、$\mathbb{P}^2$、二次曲面、または平面の和に同型なファイバーについて、例外的集合とヒルベルト汎在の構造を完全に特徴づける。

ABSTRACT

Let $\f: X a Z$ be a proper surjective map from a smooth complex manifold $X$ onto a normal variety $Z$. If $\f$ has connected fibers and $-K_X$ is $\f$-ample then $\f$ is called a good contraction. In the present paper we study good contractions, fibers of which have dimension less or equal than two: after describing possible two dimensional isolated fibers we discuss their scheme theoretic structure and the geometry of $\f:X a Z$ nearby such a fiber. If $dimX=4$ and $\f$ is birational with an isolated 2 dimensional fiber then we obtain a complete description of $\f$. We provide also a description of a 4 dimensional conic fibration with an isolated fiber which is either a plane or a quadric. We construct pertinent examples.

研究の動機と目的

• 滑らかな4次元多様体の $-K_X$-ampleな写像を伴う良い収縮における、孤立した2次元ファイバーのすべての可能な型を分類すること。
• そのようなファイバーのスキーム論的構造とその正規 bundle の特徴を特定すること。
• 孤立した2次元ファイバーの近傍における収縮写像 $\varphi: X \to Z$ の局所的幾何を記述すること。
• 余接 bundle が全体的に生成されている場合に、収縮が特異点における底の吹き上げを通じて完全に因数分解されることを確立すること。

提案手法

• 有理曲線の変形を解析するために、消滅定理と相対的基点自由性の応用。
• codimension 2 の LCI 子多様体に対する一般化されたカステルヌオヴォの収縮定理の適用。
• ファイバーに沿った吹き上げの分析と、ベクトル bundle の手術を用いた正規 bundle との関係。
• ファイバー内の直線のヒルベルト汎在の研究と、$X$ の吹き上げへの持ち上げ、ジャンピング直線と重複度の追跡。
• 4次元の場合における余接 bundle の全体的生成性を証明するための上昇補題の使用。
• 完全交差、吹き上げ、二重被覆、およびトーリック法による例の構成を通じて、分類のテストと精錬。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな4次元多様体の良い収縮における、孤立した2次元ファイバーの可能な同型型は何か？
• RQ2 ファイバーのスキーム論的構造は、周囲の多様体の幾何と収縮写像の性質とどのように関係するか？
• RQ3 ファイバーの余接 bundle が全体的に生成される条件は何か？ そしてそれは収縮の因数分解にどのような意味を持つのか？
• RQ4 ファイバー内の直線のヒルベルト汎在の構造は何か？ そして、これは底の特異点をどのように解消するか？
• RQ5 $X$ をファイバーに沿って吹き上げたとき、例外的 divisor とその交差はどのように振る舞うか？

主な発見

• ファイバー $F$ は正規であり、フジタの $\Delta$-genus が 0 であるため、$\mathbb{P}^2$、二次曲面、または二つの $\mathbb{P}^2$ の和に限られる。
• $F \cong \mathbb{P}^2$ の場合、$F$ 上の例外的 divisor $E$ の重複度は $2$ であり、$\mathcal{O}_{\hat{F}_1}(\hat{E}) \cong \mathcal{O}_{\hat{F}_1}(\hat{E}_1)$ が成り立つため、吹き上げにおける特定の構造が生じる。
• もし $F$ が二次曲面であれば、$\operatorname{mult}_F E = 2$ であり、同様に $F \cong \mathbb{F}_0$ または $\mathbb{S}_2$ の場合にも成り立ち、吹き上げと直線の変形を用いた類似の解析が可能である。
• $F = \mathbb{P}^2 \cup \mathbb{P}^2$ の場合、それぞれの成分上での重複度は $2$ と $3$ であり、ヒルベルト汎在の直線は3つの成分からなり、鎖のようにつながる。
• $\hat{\varphi}: \hat{X} \to \hat{Z}$ は $\hat{F}_1 \cap \hat{F}_2 \cong \mathbb{F}_1$ 内の $(-1)$-曲線 $l_0$ を収縮し、$\hat{X}$ の特異点集合は $C_s \cdot l_0 = 2$ を満たす有理3次曲線 $C_s$ である。$l_0$ を収縮すると、これは $\mathbb{P}^2$ 内の有理3次曲線に変化する。
• $\hat{S}$ は $y_0$ で正規でなく、$\hat{\mathcal{H}} \to \mathcal{H}$ は2つの外側の成分を収縮し、中央の成分を有理3次曲線にループさせることで三重点特異点を解消する。$z$ におけるファイバーは、単純な鎖をなす3つの有理曲線によってパラメトライズされる。