[論文レビュー] On correspondences of a K3 surface with itself. IV

Carlo Madonna, Viacheslav V. Nikulin|ArXiv.org|Jun 12, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、一般のK3表面 $X$ に対して $ (X) \leq 2$ のとき、安定な層のモジュライ空間 $Y = M_X(r,H,s)$ が、自己同型 $(r,H,s)$ を持つ場合に限り、$X$ に同型であることを確立している。その同型は、層のモジュライ空間間の普遍的な幾何的同型と、Tyurinの同型 $Y \cong X$ 自体の合成として構成可能である。この結果により、グローバルトーリー定理に依存せずに、$Y \cong X$ であるための幾何的かつ有効な基準が得られる。

ABSTRACT

Let $X$ be a K3 surface with a polarization $H$ of the degree $H^2=2rs$, $r,s\ge 1$, and the isotropic Mukai vector $v=(r,H,s)$ is primitive. The moduli space of sheaves over $X$ with the isotropic Mukai vector $(r,H,s)$ is again a K3 surface, $Y$. In \cite{Nik2} the second author gave necessary and sufficient conditions in terms of Picard lattice $N(X)$ of $X$ when $Y$ is isomorphic to $X$ (some important particular cases were also considered in math.AG/0206158, math.AG/0304415 and math.AG/0307355). Here we show that these conditions imply existence of an isomorphism between $Y$ and $X$ which is a composition of some universal geometric isomorphisms between moduli of sheaves over $X$, and geometric Tyurin's isomorphsim between moduli of sheaves over $X$ and $X$ itself. It follows that for a general K3 surface $X$ with $ρ(X)= ext{rk\}N(X)\le 2$ and $Y\cong X$, there exists an isomorphism $Y\cong X$ which is a composition of the geometric universal and the Tyurin's isomorphisms. This generalizes our recent results math.AG/0605362 and math.AG/0606239 to a general case.

研究の動機と目的

• K3表面 $X$ 上の安定層のモジュライ空間 $Y = M_X(r,H,s)$ が $X$ 自身と同型である条件を特定すること。
• グローバルトーリー定理に依存せずに、そのような同型の幾何的かつ有効な特徴づけを提供すること。
• 一般のK3表面 $X$ に対して $\rho(X) \leq 2$ のとき、同型 $Y \cong X$ が、普遍的幾何的同型とTyurinの同型の合成として一意に生じることを示すこと。
• 同型 $Y \cong X$ における普遍的同型 $\nu(d_1,d_2)$, $T_D$, $\delta$ およびTyurinの同型 $Tyu$ の役割を明確にすること。

提案手法

• $H^2 = 2rs$ および原始的性を満たすMukaiベクトル $v = (r,H,s)$ を用いて、モジュライ空間 $Y = M_X(r,H,s)$ を定義する。この空間はK3表面であることが知られている。
• チャーン類と除数の幾何的作用に基づいて定義される、$X$ 上の層のモジュライ空間間の普遍的同型 $\nu(d_1,d_2)$, $T_D$, $\delta$ を適用する。
• 特定の除数類 $\widetilde{h}_1$ に対して $\widetilde{h}_1^2 = \pm 2b_1c$ または $\pm 2a_1c$ を満たすものを使って、$X$ 自体へのTyurinの同型 $Tyu$ を構成する。
• これらの同型を合成して $Y \cong X$ を得る：$Tyu \circ T_D \circ \nu(1,d_2) \circ \delta \circ \nu(d_a,d_b)^{-1}$ または $Tyu \circ T_D \circ \nu(1,d_2) \circ \nu(d_a,d_b)^{-1}$。
• Picard格子 $N(X)$ と超越格子 $T(X)$ を用いて、$Y \cong X$ であるための必要十分条件を導出し、特に不変量 $n(v) = (r,s,d\gamma)$ を通じて記述する。
• 一般の $X$ に対して $\rho(X) \leq 2$ のとき、$v$ の原始的性および $\widetilde{H} = H/d$ の構造を用いて、そのような合成の存在が $Y \cong X$ であるための必要十分条件であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K3表面 $X$ 上の安定層のモジュライ空間 $Y = M_X(r,H,s)$ が $X$ 自身と同型であるための幾何的条件は何か？
• RQ2 グローバルトーリー定理に依存せずに、同型 $Y \cong X$ を幾何的同型を用いて明示的に構成できるか？
• RQ3 Tyurinの同型と普遍的同型 $\nu(d_1,d_2)$, $T_D$, $\delta$ は、同型 $Y \cong X$ の構成において果たす役割は何か？
• RQ4 一般のK3表面 $X$ に対して $\rho(X) \leq 2$ のとき、そのような同型の合成の存在は $Y \cong X$ であるための必要十分条件か？
• RQ5 不変量 $n(v) = (r,s,d\gamma)$, $\gamma$, および $\gamma_{a}, \gamma_{b}, \gamma_2$ は、同型 $Y \cong X$ とどのように関係しているか？

主な発見

• 一般のK3表面 $X$ に対して $\rho(X) \leq 2$ のとき、$Y = M_X(r,H,s)$ が $X$ に同型であるための必要十分条件は、同型 $Y \cong X$ が、普遍的幾何的同型 $\nu(d_1,d_2)$, $T_D$, $\delta$ およびTyurinの同型 $Tyu$ の合成として構成可能であることである。
• 同型 $Y \cong X$ は、$\widetilde{h}_1^2$ の符号に応じて、$Tyu(\pm\widetilde{h}_1) \circ T_D \circ \nu(1,d_2) \circ \delta \circ \nu(d_a,d_b)^{-1}$ または $Tyu(\pm\widetilde{h}_1) \circ T_D \circ \nu(1,d_2) \circ \nu(d_a,d_b)^{-1}$ として明示的に構成される。
• 一般の $X$ に対して $\rho(X) \leq 2$ のとき、そのような合成の存在は $Y \cong X$ であるための必要十分条件であり、同型は完全にこの幾何的構成によって特徴づけられる。
• 同型 $\nu(d_1,d_2)$ は、まだ幾何的に構成されていないが、普遍的であり、モジュライ空間上の基本変換によって定義され、合成において不可欠な役割を果たす。
• Tyurinの同型 $Tyu$ および同型 $T_D$, $\delta$, $\nu(d_1,d_2)$ は普遍的に重要であり、$\rho(X) \leq 2$ であるすべての一般のK3表面に対して、同型問題 $Y \cong X$ を解決するのに十分である。
• $Y \cong X$ のためには $n(v) = (r,s,d\gamma) = 1$ が必要であり、$X$ の一般位置の仮定のもとでは、指定された同型の合成の存在と組み合わせて、十分条件としても成立する。