[論文レビュー] On coverage and oracle radial rate of DDM-credible sets under excessive bias restriction

Eduard Belitser|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2014

Statistical Methods and Inference被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、過剰バイアス制限（EBR）と呼ばれる新しい正則性条件のもとで、逆問題における適応的・最適な信用区間を構築するためのデータ依存的測度（DDM）を導入する。弱く不適切なモデルにおける、経験ベイズ後測度のオラクル的ラジアルレートと信頼性最適性を確立し、複数の滑らかさスケールにわたる適応的ミニマックス結果を拡張する。

ABSTRACT

For a general statistical model, we introduce the notion of data dependent measure (DDM) on the model parameter. Typical examples of DDM are the posterior distributions. Like for posteriors, the quality of a DDM is characterized by the contraction rate which we allow to be local, i.e., depending on the parameter. We construct confidence sets as DDM-credible sets and address the issue of optimality of such sets, via a trade-off between its size (the local radial rate) and its coverage probability. In the mildly ill-posed inverse signal-in-white-noise model, we construct a DDM as empirical Bayes posterior with respect to a certain prior, and define its (default) credible set. Then we introduce 'excessive bias restriction' (EBR), more general than 'self-similarity' and 'polished tail condition' recently studied in the literature. Under EBR, we establish the confidence optimality of our credible set with some local (oracle) radial rate. We also derive the oracle estimation inequality and the oracle DDM-contraction rate, non-asymptotically and uniformly in $\ell_2$. The obtained local results are more powerful than global: adaptive minimax results for a number of smoothness scales follow as consequence, in particular, the ones considered by Szabo, van der Vaart and van Zanten (2015).

研究の動機と目的

• 統計的モデルにおいて、被覆確率とサイズ（ラジアルレート）の両立を図る、DDM信用区間を構築する一般枠組みを構築すること。
• ホワイトノイズを伴う弱く不適切な逆問題の文脈において、信用区間の最適性を扱うこと。
• 自己相似性や磨き上げた尾部条件よりも一般的な正則性条件として、過剰バイアス制限（EBR）を導入し、その妥当性を裏付けること。
• EBRのもとで、DDM収縮レートおよび推定不等式について、非漸近的かつl²に一様な結果を導出すること。
• Szaboら（2015）が研究したスケールを含む、複数の滑らかさスケールにわたる適応的ミニマックス結果を拡張すること。

提案手法

• 真のパラメータに依存する局所的収縮レートを許容する後測度の一般化として、データ依存的測度（DDM）を定義する。
• 特定の事前分布を用いて経験ベイズ後測度を構築し、逆信号-ホワイトノイズモデルにおけるデフォルトの信用区間を定義する。
• パラメータ空間における制約として、自己相似性などの従来の仮定を一般化する過剰バイアス制限（EBR）を導入する。
• EBRのもとで、信用区間のサイズ（ラジアルレート）と被覆確率の間のトレードオフを確立する。
• EBRのもとで、DDM収縮レートおよび推定誤差について、非漸近的かつl²に一様な境界を導出する。
• EBR条​​件を用いて、構築された信用区間がオラクル的ラジアルレートおよび信頼性最適性を達成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DDM信用区間は、逆問題においてサイズと被覆確率の最適なトレードオフを達成できるか？
• RQ2 自己相似性や磨き上げた尾部条件と比較して、過剰バイアス制限（EBR）は一般性および適用可能性においてどのように異なるか？
• RQ3 EBRのもとで、弱く不適切なモデルにおけるDDM信用区間の最適な局所的ラジアルレートは何か？
• RQ4 EBRのもとで、DDM収縮および推定について、非漸近的かつl²に一様な結果を導出できるか？
• RQ5 結果は、異なる滑らかさスケールにわたる適応的ミニマックスレートをどの程度回復または拡張するか？

主な発見

• 過剰バイアス制限（EBR）のもとで、構築されたDDM信用区間はオラクル的ラジアルレートを達成し、真のパラメータの局所的滑らかさに最適に適応する。
• 本稿は、パラメータ空間全体にわたる、非漸近的かつl²に一様なDDM収縮レートおよび推定誤差の境界を導出する。
• EBRのもとで、信用区間の信頼性最適性が確立され、与えられた局所的滑らかさに対して、被覆とサイズの最良のバランスを達成している。
• 結果は、Szabo, van der Vaart, van Zanten（2015）らの先行研究を含む、従来の適応的ミニマックス結果を一般化・拡張し、複数の滑らかさスケールにわたる適用を可能にする。
• EBR条​​件が自己相似性および磨き上げた尾部条件よりも一般的であることが示され、逆問題におけるより広範な適用可能性を可能にする。
• フレームワークは、グローバルな滑らかさ仮定を必要とせず、代わりに局所的・パラメータ依存の挙動に依存する適応的推論を可能にする。