[論文レビュー] On definite strongly quasipositive links and L-space branched covers

M. Boileau, Steven Boyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、BKL指数 k(L) ≥ 2 のとき、L-空間である循環被覆をもつ決定的で強く擬正のリンクを特徴づけ、そのようなリンクがちょうど単純ラスカル・木構造リンク（すなわち、トーラスリンク T(2,q)、T(3,4)、T(3,5)、およびプレッツェルリンク P(−2,2,m)、P(−2,3,4)）であることを示している。また、ブレイド指数 2 もしくは 3 の素な強く擬正のリンクに対して、循環被覆が L-空間であることは、そのリンクが単純ラスカル・木構造リンクであるか、またはモンテスィノスリンク M(1;1/p,1/q,1/r) であることに限定され、さらに Σ₂(L) が L-空間であるとき、すべての Σₙ(L) が L-空間であることが確認されている。ただし、3 つの例外的リンクでは状況が未解決のまま残っている。

ABSTRACT

We investigate the problem of characterising the family of strongly quasipositive links which have definite symmetrised Seifert forms and apply our results to the problem of determining when such a link can have an L-space cyclic branched cover. In particular, we show that if $\delta_n = \sigma_1 \sigma_2 \ldots \sigma_{n-1}$ is the dual Garside element and $b = \delta_n^k P \in B_n$ is a strongly quasipositive braid whose braid closure $\widehat b$ is definite, then $k \geq 2$ implies that $\widehat b$ is one of the torus links $T(2, q), T(3,4), T(3,5)$ or pretzel links $P(-2, 2, m), P(-2,3,4)$. Applying Theorem 1.1 of our previous paper we deduce that if one of the standard cyclic branched covers of $\widehat b$ is an L-space, then $\widehat b$ is one of these links. We show by example that there are strongly quasipositive braids $\delta_n P$ whose closures are definite but not one of these torus or pretzel links. We also determine the family of definite strongly quasipositive $3$-braids and show that their closures coincide with the family of strongly quasipositive $3$-braids with an L-space branched cover.

研究の動機と目的

• 決定的で対称化されたセイフェル形式をもつ強く擬正のリンクの族を、L-空間である循環被覆をもつものとして特徴づけること。
• 強く擬正のリンクのうち、循環被覆が L-空間であるもの（特に低ブレイド指数の場合）を特定すること。
• ブレイド指数 2 もしくは 3 のリンクに対して、Conjecture 1.2 を解決し、L-空間被覆をもつのは単純ラスカル・木構造リンク、または特定のモンテスィノスリンクに限ることを証明すること。
• BKL指数 k(L) がこのようなリンクを分類する上で果たす役割を調査し、k(L) ≥ 2 が重要な区別条件であることを示すこと。

提案手法

• BKL正のブレイド表現を用い、BKL指数 k(L) を、リンクが δₙᵏP の閉包として得られる最大の k として定義する。
• 文献 [BBG] の定理 1.3 を適用し、L-空間被覆をもつ任意の強く擬正のリンクは、決定的でなければならないことを示す。
• Dynkin 図形（Aₘ、Dₘ、E₆、E₇、E₈）を用いた単純ラスカル・木構造リンクの分類（トーラスおよびプレツェルリンク）を用いる。
• 被覆のアレクサンダー多項式とその根の条件を分析し、Σₙ(L) が L-空間である条件を特定する。特に、アレクサンダー多項式の根 ζ に対して Re(ζ) > cos(2π/n) が成り立つ場合に注目する。
• セイフェル被覆空間の不変量とオイラー標数の計算を用い、共通方向付きのタイトなファイブレーションが存在しないことを示し、L-空間性を裏付ける。
• ブレイド指数 2 および 3 のリンクに対して、ケース・バイ・ケースの分析を実施し、既知の結果および特定のリンクに対するコンピュータ計算を用いて、Σₙ(L) が L-空間であるかを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的で対称化されたセイフェル形式をもつ強く擬正のリンクのうち、L-空間である循環被覆をもつのはどれか？
• RQ2 素な強く擬正のリンクで、ある n ≥ 2 に対して Σₙ(L) が L-空間であるのはどれか？
• RQ3 BKL指数 k(L) ≥ 2 を用いて、L-空間被覆をもつリンク族を完全に特徴づけられるか？
• RQ4 ブレイド指数 2 または 3 の強く擬正のリンクのすべての L-空間被覆について、すべての 2 ≤ r ≤ n に対して Σᵣ(L) が L-空間であることが成り立つか？
• RQ5 6₂²、6₂³、7₁³ の 3 つの例外的リンクについて、中間の被覆 Σₙ(L) が L-空間であるかどうかの状況は未解決であるが、その状態は？

主な発見

• 強い擬正ブレイド閉包 bb が決定的であり、δₙᵏP から得られ、k ≥ 2 であるならば、bb は T(2,q)、T(3,4)、T(3,5)、P(−2,2,m)、または P(−2,3,4) のいずれかである。
• BKL指数 k(L) ≥ 2 である素な強く擬正のリンクに対して、ある n ≥ 2 に対して Σₙ(L) が L-空間であることは、L が単純ラスカル・木構造リンクであることと同値である。
• ブレイド指数 2 または 3 の非分解・非自明な強く擬正のリンクに対して、Σ₂(L) が L-空間であることは、L が単純ラスカル・木構造リンクであるか、またはモンテスィノスリンク M(1;1/p,1/q,1/r)（p,q,r は正の整数）であることに限定される。
• ブレイド b(1,1,1) の閉包は、すべての n に対して Σₙ(L) が L-空間であるリンクであり、セイフェル被覆空間の不変量とオイラー標数の議論により、これが確認されている。
• 6₂²、6₂³、7₁³ のリンクについては、中間の被覆 Σₙ(L) が L-空間であるかどうかの状況は未解決であり、部分的な結果しか得られていない：Σ₃(L) が L-空間かどうかは不明であり、同様に Σ₄(L) についても不明である。
• 本稿では、6₂²、6₂³、7₁³ を除くすべてのケースで、すべての 2 ≤ r ≤ n に対して Σᵣ(L) が L-空間であることが確認されており、残りの 3 つのケースが全性質を満たすための明確な条件も提示されている。