[論文レビュー] On Degrees in the Hasse Diagram of the Strong Bruhat Order

Ron M. Adin, Yuval Roichman|ArXiv.org|May 2, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、対称群 $S_n$ の強いブルハート順序のハッセ図における次数構造を調査し、特定の置換が被覆する置換の数（ダウン次数）と、上・下の次数の合計（トータル次数）に注目する。ツーラン型の極値グラフ理論を用いて、最大ダウン次数が $fl n^2/4 ffi$ であることを証明し、ランダムな置換の期待ダウン次数およびトータル次数の正確な式を導出。漸近的挙動は調和数を含む。

ABSTRACT

For a permutation $π$ in the symmetric group $S_n$ let the {\it total degree} be its valency in the Hasse diagram of the strong Bruhat order on $S_n$, and let the {\it down degree} be the number of permutations which are covered by $π$ in the strong Bruhat order. The maxima of the total degree and the down degree and their values at a random permutation are computed. Proofs involve variants of a classical theorem of Turán from extremal graph theory.

研究の動機と目的

• 強いブルハート順序における $S_n$ の置換の最大ダウン次数を特定すること。
• 強いブルハート順序下で、$S_n$ の一様ランダム置換の期待ダウン次数およびトータル次数を計算すること。
• $r$-次の強い降下集合への古典的降下集合の一般化を行い、その極値的性質を分析すること。
• 強い降下グラフを介して、置換の次数統計と極値グラフ理論との関係を確立すること。

提案手法

• ダウン次数 $d_{-}(\tau)$ を、$\ell(t_{a,b}\tau) = \ell(\tau) - 1$ を満たす置換 $t_{a,b}$ の数として定義し、同様にアップ次数およびトータル次数を定義する。
• 強力な降下グラフ $\Gamma_{-}(\tau)$ を導入し、$D_{-}(\tau)$ に含まれる置換に対応する辺を持つものとし、それが三角形を含まないことを証明する。
• ツーランの定理（$r=2$ の場合のマンテル＝ツーラン）を適用し、三角形を含まないグラフの最大辺数を評価することで、最大ダウン次数を導出する。
• 確率論的手法とインジケータ変数を用い、一様ランダム置換の期待トータル次数およびダウン次数を、期待の線形性を活用して計算する。
• $r$-次の強い降下集合 $D_{-}^{(r)}(\tau)$ 及びそれに対応するグラフ $\Gamma_{-}^{(r)}(\tau)$ を一般化し、$K_{r+2}$ を部分グラフに含まないことを証明する。
• 調和級数の恒等式と二重和の変形を用いて、期待次数の正確な式および漸近的式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 強いブルハート順序における $S_n$ の任意の置換の最大ダウン次数は何か？
• RQ2 強いブルハート順序下で、一様ランダム置換の期待ダウン次数は何か？
• RQ3 強いブルハート順序下で、ランダム置換の期待トータル次数は何か？
• RQ4 $r$-次の強い降下集合は、古典的降下集合をどのように一般化するのか？また、その極値的性質は何か？
• RQ5 $n \to \infty$ のとき、期待トータル次数およびダウン次数の漸近的挙動は何か？

主な発見

• すべての $\pi \in S_n$ における最大ダウン次数は $\ufb02 n^2/4 \ufb03$ であり、これは、強い降下グラフが部分がほぼ等しくなる完全二部グラフである置換によって達成される。
• ランダム置換の期待ダウン次数は $\sum_{i=2}^n \sum_{t=1}^{i-1} \sum_{r=1}^t \frac{1}{i \cdot r}$ に等しく、これは $n H_n - 2n + H_n$ に簡略化され、$H_n$ は $n$-番目の調和数である。
• ランダム置換の期待トータル次数は $n H_n - 2n + H_n$ に等しく、強いブルハート順序における対称性により、期待ダウン次数と一致する。
• 漸近的に、期待ダウン次数およびトータル次数は $n \ln n - 2n + \ln n + O(1)$ のように成長し、オイラー定数が誤差項に現れる。
• $r$-次の強い降下集合に関して、最大サイズはツーラン数 $t_{r+1}(n)$ によって上限づけられ、$r=1$ および $r=n-1$ の場合に等号が成立する。これは、古典的および逆転降下の場合に対応する。
• $r$-次の強い降下グラフ $\Gamma_{-}^{(r)}(\pi)$ は $K_{r+2}$-フリーであり、標準的な強い降下グラフの三角形フリー性を一般化する。