[논문 리뷰] On dependence consistency of CoVaR and some other systemic risk measures

Georg Mainik, Eric Schaanning|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 14.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 CoVaR의 두 정의—X = VaRα(X)에 조건부로 하는 것과 X ≥ VaRα(X)에 조건부로 하는 것—을 비교하며, 후자가 이변량 정규분포, t분포, t모서리가 있는 구름부울 코풀라와 같은 주요 모델들에서 종속성 일致성을 보장함을 보여준다. 주요 발견은 X ≥ VaRα(X)에 기반한 CoVaR만 종속성 매개변수에 대해 단조증가함을 보이며, 원래 정의에서는 이 성질을 만족하지 못함을 의미한다. 특히 정규분포의 경우 상관계수가 1/√2를 초과할수록 CoVaR가 감소함으로써 이 성질을 상실한다.

ABSTRACT

This paper is dedicated to the consistency of systemic risk measures with respect to stochastic dependence. It compares two alternative notions of Conditional Value-at-Risk (CoVaR) available in the current literature. These notions are both based on the conditional distribution of a random variable Y given a stress event for a random variable X, but they use different types of stress events. We derive representations of these alternative CoVaR notions in terms of copulas, study their general dependence consistency and compare their performance in several stochastic models. Our central finding is that conditioning on X>=VaR_α(X) gives a much better response to dependence between X and Y than conditioning on X=VaR_α(X). We prove general results that relate the dependence consistency of CoVaR using conditioning on X>=VaR_α(X) to well established results on concordance ordering of multivariate distributions or their copulas. These results also apply to some other systemic risk measures, such as the Marginal Expected Shortfall (MES) and the Systemic Impact Index (SII). We provide counterexamples showing that CoVaR based on the stress event X=VaR_α(X) is not dependence consistent. In particular, if (X,Y) is bivariate normal, then CoVaR based on X=VaR_α(X) is not an increasing function of the correlation parameter. Similar issues arise in the bivariate t model and in the model with t margins and a Gumbel copula. In all these cases, CoVaR based on X>=VaR_α(X) is an increasing function of the dependence parameter.

연구 동기 및 목표

• 다양한 조건부 사건 하에서 CoVaR의 종속성 일치성 평가
• 원래 CoVaR(조건부로 X = VaRα(X))와 수정된 버전(조건부로 X ≥ VaRα(X)) 비교
• 시스템 리스크 측정치인 CoES, MES, SII가 CoVaR 정의로부터 종속성 일치성을 유추하는지 평가
• 원래 CoVaR가 종속성 매개변수에 대해 단조적이지 않음을 보여주는 반례 제공 — 이는 스트레스 시나리오에서의 신뢰성에 영향을 미침

제안 방법

• 코풀라를 이용해 CoVaR와 CoES의 표현을 유도하여 종속성 구조 분석
• 이변량 분포 및 코풀라의 공명 순서를 사용해 종속성 일치성에 대한 이론적 조건 설정
• 수정된 CoVaR 정의(조건부로 X ≥ VaRα(X))를 이변량 정규분포, 이변량 t분포, t모서리가 있는 구름부울 코풀라 모델에 적용
• 해석적 유도와 수치적 비교를 통해 종속성 매개변수에 따른 CoVaR 및 CoES의 단조성 평가
• Marginal Expected Shortfall(MES) 및 Systemic Impact Index(SII)와 같은 관련 시스템 리스크 측정치로 결과 확장
• 원래 CoVaR 정의(조건부로 X = VaRα(X))가 이변량 정규분포 및 기타 모델에서 상관계수 증가에 따라 증가하지 않음을 보여주는 반례 사용

실험 결과

연구 질문

• RQ1 X = VaRα(X)에 기반한 CoVaR는 다변량 모델에서 종속성 증가에 대해 일관되게 반응하는가?
• RQ2 X ≥ VaRα(X)에 기반한 CoVaR는 일반적인 코풀라 가족에서 종속성 매개변수에 대해 단조증가하는가?
• RQ3 조건부 사건의 선택이 시스템 리스크 측정치의 타당성과 신뢰성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 CoVaR의 종속성 일치성은 코풀라의 공명 순서와 같은 기존 개념과 연결될 수 있는가?
• RQ5 MES 및 SII와 같은 관련 시스템 리스크 측정치는 수정된 CoVaR 정의로부터 종속성 일치성을 상속받는가?

주요 결과

• X = VaRα(X)에 기반한 CoVaR는 종속성 일치성이 없으며, 이변량 정규분포 모델에서 상관계수 ρ > 1/√2일 경우 감소함으로써 시스템 리스크 직관과 모순됨.
• X ≥ VaRα(X)에 기반한 CoVaR는 테스트된 모든 모델(이변량 정규분포, t분포, t모서리가 있는 구름부울 코풀라)에서 종속성 매개변수에 대해 단조증가함.
• 수정된 CoVaR의 종속성 일치성은 코풀라의 공명 순서에 수학적으로 기반하여 탄탄한 이론적 기반 제공.
• 원래 CoVaR 정의는 종속성이 가장 높을 때 시스템 리스크를 탐지하지 못함을 반례를 통해 입증함.
• 수정된 CoVaR 및 그 확장(예: CoES, MES, SII)은 종속성 일치성을 상속받아 규제 스트레스 테스트에서의 활용에 적합함.
• X ≥ VaRα(X)에 조건부로 하는 것이 X = VaRα(X)에 비해 훨씬 더 강건하고 해석 가능한 시스템 리스크 측정치를 제공함.