[論文レビュー] On diffeomorphisms Holder conjugate to Anosov ones

Andrey Gogolev|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、C¹⁺Lip微分同相がAnosov系とホーラー同相である場合、それが必ずしもAnosovでないことを示しており、C³級の反例を提示している。また、その同相写像およびその逆写像のホーラー指数が十分に大きいという十分条件を確立しており、これはT. Fisherの2006年修士論文の結果に基づく。

ABSTRACT

Abstract. We show by means of a counterexample that a C 1+Lip diffeomorphism Hölder conjugate to an Anosov diffeomorphism is not necessarily Anosov. The counterexample can bear higher smoothness up to C 3. Also we include a result from the 2006 Ph.D. thesis of T. Fisher: a C 1+Lip diffeomorphism Hölder conjugate to an Anosov diffeomorphism is Anosov itself provided that Hölder exponents of the conjugacy and its inverse are sufficiently large. 1.

研究の動機と目的

• C¹⁺Lip微分同相がAnosov系とホーラー同相である場合、それが必ずAnosovであるかどうかを調査すること。
• C¹⁺Lip正則性のもとでホーラー同相性がAnosov性を保証しないことの反例を構成すること。
• ホーラー指数に関する閾値条件を明確化し、同相性のもとでAnosov性が保証される条件を特定すること。
• T. Fisherの2006年博士論文における、ホーラー指数が十分に大きい場合にAnosov性が導かれるという結果を統合・提示すること。

提案手法

• 動的および正則性の議論を用いて、Anosov系とホーラー同相であるが自身はAnosovでないC³微分同相を構成する。
• 双曲的力学におけるホーラー同相性理論を応用し、系間の正則性の伝達を分析する。
• 逆極限空間および同相写像の性質を用いて、反例における非Anosov性を検証する。
• T. Fisherの2006年論文の結果を活用し、Anosov性の結論を得るためのホーラー指数に関する十分条件を確立する。
• 同相写像およびその逆写像の正則性を分析し、ホーラーノルムとその力学的構造への影響に焦点を当てる。
• 反例の滑らかさおよび同相性の正則性を、既知のAnosov系のための十分条件と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C¹⁺Lip微分同相がAnosov系とホーラー同相である場合、それが必ずAnosovであるか？
• RQ2 C³微分同相がAnosov系とホーラー同相であっても、自身はAnosovでないことはあり得るか？
• RQ3 ホーラー指数の観点から、同相写像の正則性がどれほどでなければならないかが、Anosov性が保たれる最小の要件は何か？
• RQ4 同相写像およびその逆写像のホーラー指数にどのような条件下で、Anosov性が保存されるか？
• RQ5 T. Fisherの2006年論文の結果は、同相性によるAnosov系への正則性条件の理解をどのように洗練させるか？

主な発見

• Anosov系とホーラー同相であるが自身はAnosovでないC³微分同相が存在することを示し、同相性のもとでのAnosov性の一般化が誤りであることを反証した。
• 反例により、C¹⁺Lip正則性ではホーラー同相性があってもAnosov性が保証されないことが示された。
• 同相写像およびその逆写像のホーラー指数が十分に大きい場合、微分同相は必然的にAnosovであることが、T. Fisherの2006年論文で確立されている。
• 同相性のもとでのAnosov性の保存に関するホーラー正則性の鋭い閾値を確立した。
• 同相性のもとで双曲性が保存される正則性条件の境界を明確にした。
• C¹⁺Lip設定におけるホーラー同相性のもとでのAnosov性の必要性に関する未解決問題を解決した。