[論文レビュー] On Discrete Symmetries and Torsion Homology in F-Theory

Christoph Mayrhofer, Eran Palti+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、F-theoryの compactification における離散ゲージ対称性とCalabi-Yau多様体における torsion homology 群の間の明確な幾何的対応を確立する。$Χ_2$ 対称性に注目し、section を持たない genus-one fibration（非Jacobian）は torsion homology を持たないが、その関連する Jacobian fibration（有理数 section を持つ）は $Χ_2$-torsion 2-cycle を示すことを示す。この torsion サイクルは、2つのファイバー成分 $B_{II,1} - B_{II,2}$ の差として生じ、有効理論における離散対称性を実現する wrapped M2-brane に対応する。

ABSTRACT

We study the relation between discrete gauge symmetries in F-theory compactifications and torsion homology on the associated Calabi-Yau manifold. Focusing on the simplest example of a $\mathbb Z_2$ symmetry, we show that there are two physically distinct ways that such a discrete gauge symmetry can arise. First, compactifications of M-Theory on Calabi-Yau threefolds which support a genus-one fibration with a bi-section are known to be dual to six-dimensional F-theory vacua with a $\mathbb Z_2$ gauge symmetry. We show that the resulting five-dimensional theories do not have a $\mathbb Z_2$ symmetry but that the latter emerges only in the F-theory decompactification limit. Accordingly the genus-one fibred Calabi-Yau manifolds do not exhibit discrete torsion. Associated to the bi-section fibration is a Jacobian fibration which does support a section. Compactifying on these related but distinct varieties does lead to a $\mathbb Z_2$ symmetry in five dimensions and, accordingly, we find explicitly an associated discrete torsion. We identify the expected particle and membrane system of the discrete symmetry in terms of wrapped M2 and M5 branes and present a field-theory description of the physics for both cases in terms of circle reductions of six-dimensional theories. Our results and methods generalise straightforwardly to larger discrete symmetries and to four-dimensional compactifications.

研究の動機と目的

• F-theory compactification における離散ゲージ対称性の幾何的起源、特に $Χ_2$ 対称性を明確化すること。
• F-theory極限においては存在するが、非Jacobian genus-one fibration における M-theory compactification では顕在しない離散対称性の謎を解明すること。
• 関連する Jacobian fibration における $Χ_2$ 対称性を引き起こす正確な torsion homology 群を同定すること。
• 場の理論における離散対称性の実現と、M-theory compactification における M2-および M5-brane のラッピングを結びつけること。
• このメカニズムをより高い離散対称性およびより高い次元の compactification に一般化すること。

提案手法

• section を持つ・持たない両方の genus-one fibration における M-theory compactification を分析し、非Jacobian（$P_Q$）および Jacobian（$P_W$） fibrations を区別する。
• 特異なlocus、特に $\hat{C}_{II}$ におけるファイバー構造を、fibration の定義方程式を解くことによって局所的解体法で研究する。
• 座標変換と新たな例外的 divisor $R$ の導入により、$SU(2)$ 特異性のlocus における blow-up 解体を行う。
• sections（$U$, $S$）とファイバー成分（$A_{II}, B_{II,1}, B_{II,2}$）の間の交差数を計算し、torsion サイクルを同定する。
• 6次元の F-theory 理論の円方向還元により有効場理論記述を導出し、質量のある $U(1)$ とその $Χ_2$ 離散残渣を特定する。
• 関係式 $k\alpha = d\omega$ を用いて、torsion 3形式 $\alpha$ を有効作用における質量のある $U(1)$ ゲージポテンシャル $A$ に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、同じ幾何における M-theory compactification において、section を持たない genus-one fibration（非Jacobian）では $Χ_2$ 離散対称性が顕在しないのか？
• RQ2 F-theory における genus-one fibration への compactification における $Χ_2$ 離散ゲージ対称性の幾何的起源は何か？
• RQ3 Jacobian fibration における torsion homology 群は、brane のラッピングを通じた物理的実現とどのように関係するか？
• RQ4 Jacobian fibration は離散対称性をどのように実現するのか？homology や brane 内容の観点から、非Jacobian fibration とどのように異なるか？
• RQ5 この $Χ_2$ 対称性のメカニズムは、より大きな離散群や4次元 compactification に一般化可能か？

主な発見

• 非Jacobian genus-one fibration $P_Q$ は torsion homology を持たず、したがって M-theory compactification における $P_Q$ 上では $Χ_2$ 対称性は現れない。
• Jacobian fibration $P_W$ は $Χ_2$-torsion 2-cycle を持つことが確認され、これは $I_3$ locus 上の2つのファイバー成分 $B_{II,1} - B_{II,2}$ の差として明示的に特定される。
• 交差数 $S \cdot B_{II,1} = 1$, $S \cdot B_{II,2} = 0$, および $R \cdot B_{II,1} = -1$ により、サイクル $B_{II,1} - B_{II,2}$ が torsion であり、ホモロジーで非自明であることが確認される。
• $Χ_2$ 対称性は、torsion 2サイクルをラッピングする M2-brane と、関連する 5サイクルをラッピングする M5-brane によって物理的に実現され、これらは離散対称性に対して電荷を持つ。
• 有効場理論記述では、質量のある $U(1)$ ゲージポテンシャル $A$ が RR 3形式 $C_3 = A \wedge \omega + \dots$ の次元削減から生じ、$k\alpha = d\omega$ により $Χ_k$ 残渣対称性が保証される。
• 高次元の multi-section fibration とその関連する Jacobian を用いることで、このメカニズムは $Χ_k$ 対称性へ一般化可能であり、$H_2$ および $H_3$ における torsion が離散ゲージ群に対応する。