[論文レビュー] On discrete time hedging in d-dimensional option pricing models

Mika Hujo|ArXiv.org|Mar 16, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、d次元の拡散モデルにおける離散時間ヘッジィングを、連続時間のストキャスティック積分を区分的定数ポートフォリオで近似することで研究している。決定論的で等間隔でない時刻網を用いる場合、ヘッジエラーの最適なL²収束速度n⁻¹ᐟ²を確立した。これは、多次元設定におけるデジタルオプションの既存のn⁻¹ᐟ⁴速度を改善するものである。

ABSTRACT

We study the approximation of certain stochastic integrals with respect to a d-dimensional diffusion by corresponding stochastic integrals with piece-wise constant integrands. In finance this corresponds to replacing a continuously adjusted portfolio by discretely adjusted one. The approximation error is measured with respect to $L^2$ and it is shown that under certain assumptions the approximation rate is $n^{-1/2}$ when one optimizes over deterministic but not necessarily equidistant time-nets.

研究の動機と目的

• d次元の拡散モデルにおけるヨーロピアン・オプションの離散時間ヘッジィングにおける近似誤差を分析すること。
• 非等間隔の時刻網を最適化することで、特にデジタルオプションにおける既存のn⁻¹ᐟ⁴収束速度を改善すること。
• 1次元での最適網設計に関する結果を、ドリフト項を含む多次元ケースに拡張すること。
• プレフィット関数および拡散係数に関するやや弱い正則性条件のもとで、一般のL²収束速度n⁻¹ᐟ²を確立すること。
• 多資産デリバティブプライシングにおける実用的ポートフォリオ再調整戦略の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 連続時間のストキャスティック積分∫NᵤᵏdXᵤᵏを、時刻網0 = t₀ < ⋯ < tₙ = T における離散和∑ᵢNₜᵢ₋₁ᵏ(Xₜᵢᵏ−Xₜᵢ₋₁ᵏ) で近似する。
• 連続的および離散的ヘッジィング戦略間のL²近似誤差を測定する。
• n+1個までのノードを持つすべての決定論的時刻網について誤差を最適化する。非等間隔かつ非一様な分割を許容する。
• イトの公式およびマリヤン・カculusの技法を用いて、プレフィット関数および拡散係数の導関数の観点から誤差を制御する。
• 拡散過程の遷移密度の尾部推定を用いて、被積分関数およびその導関数のモーメントを有界化する。
• ホルダーの不等式およびモーメント有界性を適用し、とくに多項式成長または特異性（例：デジタルオプション）を示す関数に対して、誤差過程のL²ノルムを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非等間隔の時刻網を用いた場合、d次元の拡散モデルにおける離散時間ヘッジィングの最適収束速度は何か？
• RQ2 多次元モデルにおけるヨーロピアン・デジタルオプションのn⁻¹ᐟ⁴収束速度は、一般の決定論的時刻網の最適化によって向上可能か？
• RQ3 基礎となる拡散過程にドリフト項が存在する場合、離散ヘッジィング戦略の収束速度にどのような影響を与えるか？
• RQ4 プレフィット関数および拡散係数に関して、どのような条件下で多次元設定においてn⁻¹ᐟ²の収束速度が成立するか？
• RQ5 標準的な等間隔の時刻網は、最適化された非等間隔網と比較して、どの程度最適収束を達成できないか？

主な発見

• 本稿は、n+1個までのノードを持つすべての決定論的時刻網について最適化を行う場合、d次元の拡散モデルにおける離散時間ヘッジィングの最適なL²収束速度n⁻¹ᐟ²を確立した。
• この速度は、等間隔網を最適化された非等間隔網に置き換えることで、多次元設定におけるヨーロピアン・デジタルオプションの従来のn⁻¹ᐟ⁴速度を改善するものである。
• プレフィット関数にデジタルオプションを含む関数のクラスについて、拡散係数およびプレフィットのやや弱い正則性・モーメント条件のもとで成立する。
• 本分析では、文献でしばしば無視されるが、基礎となる拡散過程のドリフト項を考慮している。
• 収束速度は、慎重なモーメント推定およびヘッジエラーのマリヤン微分の有界性を、遷移密度の尾部挙動を活用することで達成している。
• 証明はホルダーの不等式および被積分関数とその導関数のモーメント有界性に依拠しており、与えられた仮定のもとでL²誤差の有限性を保証する。