[論文レビュー] On dynamics of semiconjugated entire functions

Dinesh Kumar|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2013

Meromorphic and Entire Functions被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、半共役な超越的整関数の力学的挙動を調査し、半共役写像がファトウ集合を保存する条件を確立するとともに、有限型および有限臨界値の仮定の下で、合成関数の導関数の漸近的値の有界性を保証する。主な貢献は、ある関数のファトウ集合が半共役性によって別の関数のファトウ集合へ写される条件の同定にあり、また、合成における漸近的値の成長に基づく有界性の確立にあたる。

ABSTRACT

Let $g$ and $h$ be transcendental entire functions and let $f$ be a continuous map of the complex plane into itself with $f\circ g=h\circ f.$ Then $g$ and $h$ are said to be semiconjugated by $f$ and $f$ is called a semiconjugacy. We consider the dynamical properties of semiconjugated transcendental entire functions $g$ and $h$ and provide several conditions under which the semiconjugacy $f$ carries Fatou set of one entire function into the Fatou set of other entire function appearing in the semiconjugation. We have also shown that under certain condition on the growth of entire functions appearing in the semiconjugation, the set of asymptotic values of the derivative of composition of the entire functions is bounded.

研究の動機と目的

• 連続写像 f が f∘g = h∘f を満たすものとして、半共役な超越的整関数 g と h の力学的性質を分析すること。
• 半共役性 f が g のファトウ集合を h のファトウ集合へ写す条件を特定すること。
• f と g が有限型であり、有限個の臨界値を持つ場合に、合成関数 f∘g の導関数の成長および漸近的挙動を調査すること。
• 可換関数および放浪領域に関する既知の結果を、より広範な半共役系の文脈へと拡張すること。

提案手法

• 正規族およびモンテルの正規性基準を用いて、ファトウ集合の成分における反復の収束性と正規性を分析する。
• エレメンコ＝リュービッチのクラス B および特異値の極限点の集合 E′(f) を用いて、放浪領域とジュリア集合の相互作用を特徴付ける。
• 半共役関係 f∘g = h∘f を用いて、g からの力学的性質を h へと移す。特にバーカー領域および周期的でない成分に注目する。
• 近似論および有限型の整関数の性質を用いて、特異値および漸近的値の成長を制御する。
• 補題 2.9 を適用し、漸近的値が有界である二つの整関数の積もまた、漸近的値が有界であることを示す。
• 定理 2.10 を活用し、f と g が有限型であることから h も有限型であることが保証され、導関数の有界性に関する結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f∘g = h∘f を満たす半共役性 f が、g のファトウ集合を h のファトウ集合へ写す条件は何か？
• RQ2 f と g が有限型であり、有限個の臨界値を持つと仮定するとき、f∘g の導関数が漸近的値の有界集合を持つのはどのような場合か？
• RQ3 F(g) にバーカー領域が存在する場合、f がそれを F(h) へ写すことが示せるか？
• RQ4 半共役性の下で、f∘g の特異値および漸近的値は、f と g のそれらとどのように関係するか？
• RQ5 可換な整関数 f と g は、どの程度まで同じファトウ集合を持つのか。この性質が成り立つ条件は何か？

主な発見

• f が連続的かつ開写像であり、f∘g = h∘f を満たすならば、g の任意のバーカー領域は h のファトウ集合へ写される。
• f と g が可換な整関数であり、各々の閉包の補集合において二つの値を欠いているならば、F(f) = F(g) が成り立つ。
• f と g が有限型であり、有限個の臨界値を持つとき、f∘g の導関数は漸近的値の有界集合を持つ。
• f と g が漸近的値が有界であると仮定すると、補題 2.9 を用いて f∘g が漸近的値の有界性を保つことが示される。
• f と g が有限型であることから h も有限型であり、h およびその導関数も有限型であることが保証され、特異値の有界性を支持する。
• f^n が領域 V で正規であり、f∘g = h∘f を満たすならば、f(V) が二つの値を欠いている限り、h^n は f(V) で正規である。f(β) ∈ J(h) であると仮定すると、矛盾が生じる。