[論文レビュー] On ergodic states, spontaneous symmetry breaking and the Bogoliubov quasi-averages

Walter F. Wreszinski, Valentin A. Zagrebnov|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2016

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子スピン系および多体ボソン系における熱的（ギブス）状態のエルゴード分解において、ボゴリューボフ準平均が純粋状態またはエルゴード状態を選択することを示している。これは、非対角的長距離秩序（ODLRO）を示す系において、一般化されたボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）と準平均によるスピンの自発的対称性破れ（SSB）の等価性を解消する。特に、準平均を介して定義される量のみが物理的に信頼できることが示されている。

ABSTRACT

It is shown that Bogoliubov quasi-averages select the pure or ergodic states in the ergodic decomposition of the thermal (Gibbs) state. Our examples include quantum spin systems and many-body boson systems. As a consequence, we elucidate the problem of equivalence between Bose-Einstein condensation and the quasi-average spontaneous symmetry breaking (SSB) discussed for continuous boson systems. The multi-mode extended van den Berg-Lewis-Pulé condensation of type III demonstrates that the only physically reliable quantities are those that defined by Bogoliubov quasi-averages.

研究の動機と目的

• ボゴリューボフの準平均法の物理的意味と、量子多体系における普遍的適用可能性を明確化すること。
• 連続的ボソン系におけるボーズ＝アインシュタイン凝縮（BEC）と自発的対称性破れ（SSB）の間の長年の等価性の問題を解消すること。
• 非対角的長距離秩序（ODLRO）を示す系において、準平均を介して定義された観測量のみが物理的に信頼できるということを示すこと。
• 準平均法が熱的状態のエルゴード分解における極値（エルゴード）状態を選択することを示し、物理的に一貫した選択メカニズムを提供すること。
• 特に一般化されたBECとODLROの文脈において、量子スピン系および連続的ボソン系におけるSSBの理解を拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、有限および無限体積におけるギブス状態を含め、量子系における熱的平衡状態を記述するために、$W^*$-代数と正規状態の枠組みを用いる。
• ボゴリューボフ準平均法を適用し、対称性破れ場 $H_\Lambda + \lambda B_\Lambda$ を導入し、熱力学的極限 $\Lambda \nearrow \mathbb{Z}^d$ または $\Lambda \nearrow \mathbb{R}^d$ を取り、次に $\lambda \to 0^+$ の極限を取る。
• 量子スピン系では、対称性破れ場はハミルトニアンと可換であり、測定可能な磁化秩序パラメータをもたらす。
• 連続的ボソン系では、対称性破れ場はハミルトニアンと可換ではなく、秩序パラメータは位相を含み、干渉実験によって測定可能になる。
• 論文は、ファンス＝プル・ヴェルベールの定理およびその非ゼロ運動量への拡張に依拠し、ODLROが、エルゴード的でゲージ不変でない状態の族の存在を示すことを示している。
• 熱的状態のエルゴード分解が $\omega_{\beta,\mu} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} d\phi \, \omega_{\beta,\mu,\phi}$ で与えられ、各 $\omega_{\beta,\mu,\phi}$ が準平均によって選ばれた極値状態であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボゴリューボフ準平均法は、熱的状態の分解における物理的に関連のあるエルゴード状態を一貫して選択するのか？
• RQ2 一つのモードにおける準平均を用いて定義された場合、BECとSSBの間に根本的な等価性があるのか？
• RQ3 なぜ非対角的長距離秩序を示す系では、準平均を介して定義された量だけが物理的に信頼できるのか？
• RQ4 量子スピン系と連続的ボソン系において、準平均法の物理的解釈と数学的構造はどのように異なるのか？
• RQ5 準平均法は、離散的および連続的量子系の両方における自発的対称性破れを説明するために普遍的に適用可能なのか？

主な発見

• ボゴリューボフ準平均法は、熱的状態のエルゴード分解において純粋状態またはエルゴード状態を選択し、物理的に一貫した選択メカニズムを提供する。
• 量子スピン系では、準平均により測定可能な磁化秩序パラメータが得られ、その結果得られる状態は元の対称性群の部分群に対してのみ不変な極値状態である。
• 連続的ボソン系では、秩序パラメータが位相を含み、直接測定可能ではないが、二つの凝縮体間の干渉によって観測可能であり、実験的にも確認されている。
• 論文は、ヴァン・デン・ベルグ＝ルイス＝プルの定義に従う一般化されたボーズ＝アインシュタイン凝縮における、唯一物理的に信頼できる量は準平均を介して定義されたものであることを確立し、長年の曖昧さを解消した。
• 熱的状態のエルゴード分解が、位相回転された状態 $\omega_{\beta,\mu,\phi}$ の積分として明示的に構成された。各状態は異なる純粋な位相に対応する。
• この方法は、相互作用を有するボソン気体を含むさまざまな系に普遍的に適用可能であることが示され、$\lambda \neq 0$ であっても熱力学的極限において化学ポテンシャルが負のまま保たれる。