[論文レビュー] On Existence and Uniqueness of Second Order Fully Nonlinear PDEs with Caputo time fractional derivatives

Tokinaga Namba|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、1未満の次数のCaputo時間分数導関数を有する2階完全非線形PDEに対して、粘性解の存在および一意性を確立する。比較原理とPerronの方法を用いて、強いDirichlet境界条件および粘性的意味でのNeumann境界条件をそれぞれ備えたCauchy-Dirichlet問題およびCauchy-Neumann問題の一意解法可能性を証明する。

ABSTRACT

Initial-boundary value problems for second order fully nonlinear PDEs with Caputo time fractional derivatives of order less than one are considered in the framework of viscosity solution theory. Associated boundary conditions are Dirichlet and Neumann, and they are considered in the strong sense and the viscosity sense, respectively. By a comparison principle and Perron's method, unique existence for the Cauchy-Dirichlet and Cauchy-Neumann problems are proved.

研究の動機と目的

• 1未満の次数のCaputo時間分数導関数を有する2階完全非線形PDEに対する解の存在および一意性を扱う。
• DirichletおよびNeumann境界条件の両方の下で、初期境界値問題を定式化し、解析する。
• 完全非線形PDEの文脈において、Caputo分数時間導関数を含む粘性解理論を拡張する。
• 比較原理を確立し、Perronの方法を用いてCauchy-Dirichlet問題およびCauchy-Neumann問題の一意解法可能性を証明する。

提案手法

• 研究は、PDEの非線形性および滑らかさの欠如に対処するため、粘性解理論を用いる。
• 粘性解の一意性を保証するため、分数PDEに対して比較原理を確立する。
• Perronの方法を適用し、すべての下解の点毎の上界として解を構成する。
• 境界条件はハイブリッドな方法で取り扱う：Dirichlet条件は強い意味で、Neumann条件は粘性的意味で。
• 解析は、次数 α ∈ (0,1) のCaputo導関数を有する時間分数PDEの文脈で行われる。
• フレームワークは、Hessianおよび勾配への依存が一般的かつ非線形な完全非線形PDEを扱えるように設計されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1未満の次数のCaputo時間分数導関数を有する2階完全非線形PDEに対して、粘性解が存在する条件は何か？
• RQ2 このような分数PDEの文脈において、DirichletおよびNeumann境界条件を粘性解の文脈で一貫してどのように定式化できるか？
• RQ3 この分数PDEの文脈で、粘性解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 比較原理を、Caputo導関数を有する完全非線形時間分数PDEに拡張できるか？
• RQ5 Perronの方法は、これらの初期境界値問題の解を構成するために適用可能か？

主な発見

• 考察対象の完全非線形時間分数PDEのクラスに対して、比較原理が確立され、粘性解の一意性が保証される。
• Dirichlet境界条件を強い意味で課した場合、Cauchy-Dirichlet問題は一意な粘性解を有する。
• Neumann境界条件を粘性的意味で解釈した場合、Cauchy-Neumann問題は一意な粘性解を有する。
• Perronの方法は、境界条件を満たすすべての下解の上界として、一意解を効果的に構成する。
• 結果として、完全非線形PDEに混合境界条件を含む文脈で、粘性解理論がCaputo時間分数導関数を含む形に拡張された。