[論文レビュー] On existence and uniqueness of solutions for semilinear fractional wave equations

Yavar Kian, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\alpha \in (1,2)$ の Caputo 時間微分を有する半線形分数マクロ波動方程式に対して、線形問題の性質に基づく新しい弱解の定義を用いて、局所的弱解の存在および一意性を確立する。主な結果として、初期データの大きさに明示的に依存する解の存在時間の依存関係が示され、適切な非線形成長条件のもとで、初期データが小さいほど解の存在時間が長くなることが示される。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a $\mathcal C^2$-bounded domain of $\mathbb R^d$, $d=2,3$, and fix $Q=(0,T) imesΩ$ with $T\in(0,+\infty]$. In the present paper we consider a Dirichlet initial-boundary value problem associated to the semilinear fractional wave equation $\partial_t^αu+\mathcal A u=f_b(u)$ in $Q$ where $11$. We first provide a definition of local weak solutions of this problem by applying some properties of the associated linear equation $\partial_t^αu+\mathcal A u=f(t,x)$ in $Q$. Then, we prove existence of local solutions of the semilinear fractional wave equation for some suitable values of $b>1$. Moreover, we obtain an explicit dependence of the time of existence of solutions with respect to the initial data that allows longer time of existence for small initial data.

研究の動機と目的

• 有界な $\mathcal{C}^2$ 域における、$1<\alpha<2$ の Caputo 衍生 $\partial_t^\alpha$ を有する半線形分数マクロ波動方程式に対して、適切な弱解の定義を提示すること。
• 非線形項 $|f_b'(u)| \leq C|u|^{b-1}$ を満たす $b>1$ の条件下で、半線形方程式の初期境界値問題の適切性（well-posedness）を確立すること。
• 解の存在時間 $T$ が初期データ $u_0, u_1$ の大きさにどのように依存するかを明示的に導出すること。
• 線形問題の性質に裏打ちされた枠組みを用いて、弱解理論を低正則性の源項に対しても拡張すること。

提案手法

• 線形分数マクロ波動方程式 $\partial_t^\alpha u + \mathcal{A}u = f(t,x)$ に伴う弱解を、スペクトル分解とエネルギー推定を用いて定義する。
• 適切な関数空間 $Z_T = \mathcal{C}([0,T];L^2(\Omega)) \cap L^p(0,T;L^q(\Omega))$ 内で逐次近似法（固定点議論）を用いる。
• 分数マクロ波動方程式に適応した Strichartz 型推定を用いて、非線形項 $f_b(u)$ を $L^1(0,T;L^2(\Omega))$ 内で制御する。
• Young の不等式およびスペクトル射影作用素の $L^p$-有界性を用いて、$W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$ 内での反復列の収束を証明する。
• $L^2$-直交基底における級数収束を示すことにより、解の正則性を確立し、$W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$ および $\mathcal{C}([0,T];H^{2\gamma}(\Omega))$ での収束を示す。
• 初期データノルムに依存する解の存在時間 $T$ を導出する。$p > b$ の場合、$T \propto (\|u_0\|_{H^{2\gamma}} + \|u_1\|_{H^{2s}})^{-(b-1)/p}$ となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な部分積分が失敗する状況下で、$1<\alpha<2$ の Caputo 衍生 $\partial_t^\alpha$ を有する半線形分数マクロ波動方程式に対して、弱解の整合的な定義をどのように提示できるか。
• RQ2 非線形項 $f_b(u)$ にどのような条件を課すと、適切な関数空間内での局所解の存在および一意性が保証されるか。
• RQ3 解の存在時間は初期データ $u_0, u_1$ の大きさにどのように依存するか。
• RQ4 提案された枠組みのもとで、解が $W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$ に属する十分な正則性を持つことが示せるか。
• RQ5 $\alpha \in (1,2)$ の分数マクロ波動方程式の設定において、古典的波動方程式で用いられる Strichartz 型手法をどのように拡張できるか。

主な発見

• 線形問題の適切性に裏打ちされた、半線形分数マクロ波動方程式のための新しい局所的弱解の定義が提案された。
• 適切な $p,q,\ell$ に対して、空間 $L^p(0,T;L^q(\Omega)) \cap \mathcal{C}([0,T];L^2(\Omega)) \cap W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$ 内で、局所的弱解の存在および一意性が証明された。
• 解の存在時間 $T$ は $T \leq \min\left\{ (3C M^{b-1})^{-p/(p-b)}, T_0 \right\}$ を満たし、$M$ は解ノルムの上界である。これは、初期データが小さいほど解の存在時間が長くなることを示している。
• 解が $W^{1,\ell}(0,T;L^2(\Omega))$ に属することを示し、弱定式化が成立する十分な時間正則性が確認された。
• 非線形項 $f_b(u)$ が $L^1(0,T;L^2(\Omega))$ に属することを示し、積分表現および固定点議論の適用が可能であることを確認した。
• 関数空間 $Z_T$ 内で解ノルムの一様な有界性を確立し、固定点反復の収束が保証された。これにより、一意解の存在が示された。