[論文レビュー] On extremal cacti with respect to the edge Szeged index and edge-vertex Szeged index

Shengjie He, Rong‐Xia Hao+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Graph theory and applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$n$ 頂点と $k$ 個のサイクルをもつカチウスに対して、最小のエッジ・ツェーゲン指数およびエッジ・バーテックス・ツェーゲン指数を特定し、その最小値に達する極値グラフが、共通頂点に接続された $k$ 個の三角形からなるバンドルに、$n-2k-1$ 個のパウンドエッジが接続された構造であることを証明している。これらの結果により、カチウスのクラスにおいて、両指標の正確な下界が得られ、極値構造が一意に特定されている。

ABSTRACT

The edge Szeged index and edge-vertex Szeged index of a graph are defined as $Sz_{e}(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}m_{u}(uv|G)m_{v}(uv|G)$ and $Sz_{ev}(G)=\frac{1}{2} \sum\limits_{uv \in E(G)}[n_{u}(uv|G)m_{v}(uv|G)+n_{v}(uv|G)m_{u}(uv|G)],$ respectively, where $m_{u}(uv|G)$ (resp., $m_{v}(uv|G)$) is the number of edges whose distance to vertex $u$ (resp., $v$) is smaller than the distance to vertex $v$ (resp., $u$), and $n_{u}(uv|G)$ (resp., $n_{v}(uv|G)$) is the number of vertices whose distance to vertex $u$ (resp., $v$) is smaller than the distance to vertex $v$ (resp., $u$), respectively. A cactus is a graph in which any two cycles have at most one common vertex. In this paper, the lower bounds of edge Szeged index and edge-vertex Szeged index for cacti with order $n$ and $k$ cycles are determined, and all the graphs that achieve the lower bounds are identified.

研究の動機と目的

• 頂点数 $n$、$k$ 個のサイクルをもつカチウスにおけるエッジ・ツェーゲン指数およびエッジ・バーテックス・ツェーゲン指数の下界を特定すること。
• これらの最小値を達成するすべてのカチウスを同定すること。
• 極値グラフが、共通頂点に接続された $k$ 個の三角形と、$n-2k-1$ 個のパウンドエッジからなる構造であることを確立すること。
• エッジおよびエッジ・バーテックス・ツェーゲン指数を導入・分析することで、カチウスグラフにおけるトポロジカル・インデックスに関する先行研究を拡張すること。
• 今後の最大インデックスおよび他のグラフクラスに関する研究の基盤を提供すること。

提案手法

• 本稿では、エッジ・ツェーゲン指数を $Sz_e(G) = \sum_{uv \in E(G)} m_u(uv|G) m_v(uv|G)$ として定義し、ここで $m_u(uv|G)$ は $u$ に $v$ より近い辺の数を表す。
• エッジ・バーテックス・ツェーゲン指数を $Sz_{ev}(G) = \frac{1}{2} \sum_{uv \in E(G)} [n_u(uv|G) m_v(uv|G) + n_v(uv|G) m_u(uv|G)]$ として定義し、$n_u$ は $u$ に $v$ より近い頂点の数を表す。
• 著者らは構造的補題を用いて、極値カチウスにおいてすべてのサイクルがエンド・ブロックであり、すべてのカットエッジがパウンドエッジでなければならないことを示した。
• 変換補題（例：補題 3.3 および補題 3.4）を適用し、長さが 3 より大きいサイクルが最小インデックスをもたらさないことを証明した。
• 候補となる極値グラフ $C_0(n,k)$（$k$ 個の三角形からなるバンドルに $n-2k-1$ 個のパウンドエッジが接続されたグラフ）に対して、両指標の閉形式の式を導出した。
• 証明は、構造的変更によるインデックス値の比較に依拠し、サイクル長および辺の分布に関する帰納法とケース解析を用いた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点数 $n$、$k$ 個のサイクルをもつすべてのカチウスにおいて、エッジ・ツェーゲン指数の最小値は何か？
• RQ2 頂点数 $n$、$k$ 個のサイクルをもつすべてのカチウスにおいて、エッジ・バーテックス・ツェーゲン指数の最小値は何か？
• RQ3 与えられた $n$ および $k$ に対して、どのカチウス構造がエッジ・ツェーゲン指数の最小値を達成するか？
• RQ4 与えられた $n$ および $k$ に対して、どのカチウス構造がエッジ・バーテックス・ツェーゲン指数の最小値を達成するか？
• RQ5 極値グラフは、サイクル構造およびパウンドエッジ分布の観点から一意に特徴付けられるか？

主な発見

• 頂点数 $n \geq 5$ の任意のカチウス $\mathcal{C}(n,k)$ において、最小のエッジ・ツェーゲン指数は $2kn + 2k^2 - 5k$ であり、これは一意にグラフ $C_0(n,k)$ によって達成される。
• 頂点数 $n \geq 5$ の任意のカチウス $\mathcal{C}(n,k)$ において、最小のエッジ・バーテックス・ツェーゲン指数は $\frac{1}{2}(n^2 - 3n + 3kn - 5k + 2)$ であり、これは一意に $C_0(n,k)$ によって達成される。
• 極値グラフ $C_0(n,k)$ は、共通頂点に接続された $k$ 個の三角形と、その頂点に $n - 2k - 1$ 個のパウンドエッジが接続された構造からなる。
• 変換補題により、長さが 3 より大きいサイクルは最小インデックスをもたらさないことが示された。具体的には、長めのサイクルを三角形に置き換えることでインデックス値が低下する。
• 極値グラフにおいて、すべてのカットエッジはパウンドエッジでなければならないし、すべてのサイクルはエンド・ブロックである。これにより、$C_0(n,k)$ の構造的独自性が裏付けられた。
• 結果は厳密かつ正確であり、等号成立は指定されたバンドル構造に限られ、グラフ変換によるインデックス比較により証明された。