[論文レビュー] On formula to compute primes and the nth prime

Issam Kaddoura, Samih Abdul-Nabi|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 9被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、素数判定法を新たに導入し、それを用いてπ(n)、つまりn以下の素数の個数を求める公式を導出する。これにより、n以下の素数の個数を計算可能となる。さらに、n番目の素数の閉形式式を提示し、任意の数の直後の次の素数を求めるアルゴリズムも提示する。これは数論における明示的素数生成および素数の個数数え上げに関する理論的進展を示す。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new primality test, and then we employ this test to find a formula for π that computes the number of primes within any interval. We finally propose a new formula that computes the nth prime number as well as the next prime for any given number

研究の動機と目的

• 数が素数であるかどうかを効率的に判定できる新しい素数判定法を開発すること。
• 提案された素数判定法を用いて、n以下の素数の個数π(n)を求める公式を導出すること。
• 素数の個数数え上げ関数に基づいて、n番目の素数の閉形式式を構築すること。
• 任意の整数の直後の次の素数を計算するアルゴリズム的手順を提供すること。
• 数論における素数生成および素数の個数数え上げの明示的公式を理論的に貢献すること。

提案手法

• 著者らは、特定の剰余算術および階乗に類似した表現を含む算術的条件に基づく新しい素数判定法を導入する。
• この素数判定法を用いて、与えられた区間内に含まれる素数を特定する特性関数を定義する。
• 素数の個数数え上げ関数π(n)は、この特性関数の和として定式化され、n以下の素数の個数を実際に数える。
• 得られたπ(n)の公式を用いて、逆関数のアプローチによりn番目の素数を計算する。具体的には、π(n) = kを満たす最小のnを求める。
• この方法には、素数判定法を繰り返し適用することで、任意の与えられた数の直後の次の素数を計算する手順が含まれる。
• 素数生成および素数の個数数え上げを閉形式で表現するために、数論的恒等式および和の技法に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数の個数および位置を明示的に計算可能にする新しい素数判定法を構築できるか？
• RQ2 新しい素数基準を用いて、n以下の素数の個数π(n)の閉形式式を導出できるか？
• RQ3 素数の個数数え上げ関数に基づく公式により、n番目の素数を直接計算できるか？
• RQ4 任意の整数の直後の次の素数を計算する決定的アルゴリズムの構造は何か？
• RQ5 数論的恒等式を用いて、素数生成および素数の個数数え上げの明示的公式をどのように構築できるか？

主な発見

• 本稿では、特定の算術的条件に基づく新しい素数判定法を成功裏に構築した。この判定法は素数を特定する。
• 素数判定法を用いて、n以下の素数の個数π(n)を求める公式が導出され、素数の個数を明示的に計算可能となった。
• 素数の個数数え上げ関数の逆関数を用いることで、n番目の素数の閉形式式が構築された。
• 本手法は、素数判定法を繰り返し適用することで、任意の整数の直後の次の素数を計算する決定的アルゴリズムを提供する。
• 結果として得られたものは、計算の有効性は分析されていないが、明示的素数計算に関する理論的貢献である。
• 公式は数論の枠組み内で数学的に妥当であるが、計算の複雑さのため実用的適用性は限定的である。