[論文レビュー] On Fuzzy Bi-ideals and Fuzzy Quasi Ideals in Gamma-Semigroups

Sujit Kumar Sardar, Samit Kumar Majumder+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2011

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Γ-半群におけるファジィ準イデアルを導入し、古典的イデアル構造を一般化するファジィイデアル理論への拡張を試みる。ファジィ準イデアルおよびファジィ双イデアルの冪等性を用いて、正則および内部正則なΓ-半群を特徴づけ、Γ-半群が正則かつ内部正則であることと、すべてのファジィ準イデアルが冪等であることの必要十分条件であることを証明する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to investigate some properties of fuzzy ideals and fuzzy bi-ideals in gamma-semigroups and to introduce the notion of fuzzy quasi ideals in gamma-semigroups. Here we also characterize a regular gamma-semigroup in terms of fuzzy quasi ideals.

研究の動機と目的

• Γ-半群におけるファジィイデアル理論を拡張するために、ファジィ準イデアルの概念を導入すること。
• Γ-半群におけるファジィイデアル、ファジィ双イデアル、およびファジィ(1,2)-イデアルの性質を調査すること。
• 左／右単純、ダウ、正則、内部正則なΓ-半群などの代数的構造を、ファジィイデアル論的条件を用いて特徴づけること。
• 正則および内部正則なΓ-半群の特徴づけを、ファジィ準イデアルの観点から確立すること。

提案手法

• すべての a ∈ S に対して、a = bαs および a = tβc であるとき、μ(a) ≥ min{μ(b), μ(c)} を満たす条件を用いて、Γ-半群におけるファジィ準イデアルを定義する。
• ファジィ部分集合に対して、(μ∘ν)(x) = sup_{x = yγz} min{μ(y), ν(z)} で定義される合成演算を用いる。
• ファジィ部分集合 μ がファジィ準イデアルであることと、(χ∘μ) ∩ (μ∘χ) ⊆ μ が成り立つこと（χ は特性関数）が同値であることを証明する。
• ファジィ準イデアルの冪等性とΓ-半群の正則性・内部正則性との間の同値性を確立する。
• 特徴づけを応用して、すべてのファジィ準イデアルが冪等であることと、Γ-半群が正則かつ内部正則であることの必要十分条件であることを示す。
• 既知のファジィ双イデアルに関する結果をΓ-半群の文脈に拡張し、構造的同値性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Γ-半群の文脈において、準イデアルの概念をどのようにファジィ化できるか。
• RQ2 ファジィ準イデアルの観点から、Γ-半群が正則かつ内部正則であるための必要十分条件は何か。
• RQ3 Γ-半群におけるファジィ双イデアルとファジィ準イデアルの関係は何か。
• RQ4 ファジィイデアルの冪等性を用いて、Γ-半群のどのような構造的性質を特徴づけられるか。
• RQ5 ファジィ準イデアルを用いて、半群における正則性の特徴づけをΓ-半群へ拡張できるか。

主な発見

• Γ-半群 S のファジィ部分集合 μ がファジィ準イデアルであるための必要十分条件は、すべての x ∈ S に対して、x = bαs および x = tβc であるとき、μ(x) ≥ min{μ(b), μ(c)} が成り立つことである。
• S の準イデアル Q に対応するファジィ準イデアル C_Q について、C_Q ∘ C_Q = C_Q が成り立つことは、Q = QΓQ であることと同値である。
• Γ-半群 S が正則かつ内部正則であることと、S のすべてのファジィ準イデアルが冪等であることとは同値である。
• 正則かつ内部正則なΓ-半群において、すべてのファジィ双イデアルは冪等である。すなわち、μ∘μ = μ が成り立つ。
• ファジィ準イデアルのクラスは、Γ-半群におけるファジィ双イデアルのクラスを真に一般化する。
• Γ-半群 S が正則かつ内部正則であることと、すべてのファジィ双イデアルが冪等であること、およびすべてのファジィ準イデアルが冪等であることとは同値である。