[논문 리뷰] On general skew Brownian motions

Liping Li|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 20.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 시간에 의해 구동되는 확률미분방정식의 약한 해로서 일반화된 기울기 없는 브라운 운동을 딜레르트 형식과 후쿠시마의 분해를 이용해 연구한다. 이러한 해의 존재를 위한 필수 및 필요조건을 서명 측도 $\mu$ 에 대해 규명하고, 경로 유일성, 비가역성 및 분포 등가 조건을 특성화하며, 전통적인 기울기 없는 브라운 운동을 국소 시간 비율이 있는 일반 측도로 일반화한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is two-fold. On one hand, we will study the distorted Brownian motion on $\mathbb{R}$, i.e. the diffusion process $X$ associated with a regular and strongly local Dirichlet form obtained by the closure of $\mathscr{E}(f,g)=\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} f'(x)g'(x)ρ(x)dx$ for $f,g\in C_c^\infty(\mathbb{R})$ on $L^2(\mathbb{R}, \mathfrak{m})$, where $\mathfrak{m}(dx)=ρ(x)dx$ and $ρ$ is a certain positive function. After figuring out the irreducible decomposition of $X$, we will present a characterization of that $X$ becomes a semi-martingale by virtue of so-called Fukushima's decomposition. Meanwhile, it is also called a general skew Brownian motion, which turns out to be a weak solution to the stochastic differential equation with certain $μ$: \[ dY_t=dW_t+\int_\mathbb{R}μ(dz) dL^z_t(Y),\quad (*) \] where $(W_t)_{t\geq 0}$ is a standard Brownian motion and $(L^z_t(Y))_{t\geq 0}$ is the symmetric semi-martingale local time of the unknown semi-martingale $Y$ at $z$. On the other hand, the stochastic differential equation (*) will be considered further. The main purpose is to find the conditions on $μ$ equivalent to that there exist general skew Brownian motions being weak solution to (*). Moreover, the irreducibility and the equivalence in distribution of expected general skew Brownian motions will be characterized. Finally, several special cases will be paid particular attention to and we will prove or disprove the pathwise uniqueness for (*).

연구 동기 및 목표

• 대칭 반마르팅글의 국소 시간에 의해 구동되는 확률미분방정식의 약한 해가 존재하기 위한 서명 측도 $\\mu$ 에 대한 조건을 규명하는 것.
• 관련된 딜레르트 형식의 후쿠시마 분해를 통해 이러한 해가 반마르팅글인지 결정하는 것.
• 유도된 확산 과정에 대한 경로 유일성, 비가역성 및 분포 등가 조건을 설정하는 것.
• 기본적인 $\\alpha$-기울기 없는 브라운 운동을 가산 또는 비가산 집합에 지지된 임의의 서명 측도 $\\mu$ 로 일반화하는 것.
• 일반적인 간격에서의 비가역 분해와 매끄러운 측도 이론을 이용해 왜곡된 브라운 운동의 구조를 분석하는 것.

제안 방법

• 지정된 측도 $\mathfrak{m}(dx) = \rho(x)dx$ 에서 $L^2(\mathbb{R}, \mathfrak{m})$ 에서의 딜레르트 형식 $\mathscr{E}(f,g) = \frac{1}{2}\int_\mathbb{R} f'(x)g'(x)\rho(x)\,dx$ 를 사용하여, 이에 대응하는 왜곡된 브라운 운동을 확산으로 정의한다.
• 후쿠시마의 분해를 적용하여 과정이 반마르팅글인지 특성화하며, 비율 항을 측도 $\mu$ 에 대한 국소 시간 적분과 연결한다.
• 일반화된 기울기 없는 브라운 운동을 SDE $dY_t = dW_t + \int_\mathbb{R} \mu(dz) dL^z_t(Y)$ 의 약한 해로 표현한다. 여기서 $L^z_t(Y)$ 는 대칭 반마르팅글 국소 시간이다.
• 지지 집합과 투명 집합의 분석을 위해 매끄러운 측도 이론과 $\mathscr{E}$-네스트를 활용하며, 특히 구간 $\mathtt{I}_k$ 의 합집합의 여집합에 초점을 맞춘다.
• 콤��� 집합에 의한 근사와 총변동 측도의 $\sigma$-유한성 조건을 이용하여 $\mu$ 가 딜레르트 형식에 대해 매끄럽다는 조건을 유도한다.
• 잠재 이론의 결과(예: [5, (3.5.13)]) 를 적용하여, 무한한 끝점 근처의 속도 측도에 대한 적분 조건을 통해 비보존성을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서명 측도 $\mu$ 에 대해 SDE $dY_t = dW_t + \int_\mathbb{R} \mu(dz) dL^z_t(Y)$ 가 약한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 해 과정 $Y$ 가 반마르팅글이 되는 조건는 무엇이며, 후쿠시마의 분해를 통해 어떻게 특성화되는가?
• RQ3 $\mu$ 에 대한 어떤 조건이 SDE 에서의 경로 유일성을 보장하는가?
• RQ4 과정이 비가역적일 조건은 무엇이며, 두 과정이 분포상 등가일 조건은 무엇인가?
• RQ5 지지 집합의 구조(예: 이산, 가산, 또는 집적점이 있는 비가산 집합)가 해의 성질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• SDE 의 약한 해가 존재하는 것은 $\mu$ 가 딜레르트 형식에 대해 매끄러운 측도일 때이고, 이는 정확히 $\mu(\left(\cup_{k\geq 1} \mathtt{I}_k\right)^c) = 0$ 이며 각 구간 $\mathtt{I}_k$ 에서 $\mu|_{\mathtt{I}_k}$ 가 라돈 측도일 때 성립한다.
• 경로 유일성이 성립하는 것은 가산적으로 기울어진 경우에 $\sum_{k=1}^\infty |2\alpha_k^- - 1| + \sum_{k=-\infty}^1 |2\alpha_k^+ - 1| < \infty $ 이 성립할 때이고, 이는 레갈의 조건을 일반화한다.
• 과정이 보존적일 조건은 어떤 $k$ 에 대해 $\mathfrak{a}_k = -\infty$ 이거나 $\mathfrak{b}_k = \infty$ 가 아닐 때이며, 비유계인 경우에 $\int_{-\infty}^{\mathfrak{e}_k} \mathfrak{m}((x, \mathfrak{e}_k)) \lambda_{{\mathfrak{s}}_k}(dx) < \infty $ 가 실패할 때이다.
• 왜곡된 브라운 운동의 비가역 분해는 구간 $\mathtt{I}_k$ 와 대응하며, $\cup_{k\geq 1} \mathtt{I}_k = \mathbb{R}$ 이 $\mathfrak{m}$-영집합을 제외한 상태에서 성립할 때에만 $\mathbb{R}$ 에서 비가역적이다.
• 두 일반화된 기울기 없는 브라운 운동이 분포상 등가일 조건은 그 각각의 측도 $\mu$ 가 동일한 매끄러움 및 지지 조건을 만족하고, 국소 시간 비율이 $\mathfrak{m}$-거의확실하게 동일할 때이다.
• 해가 반마르팅글일 조건은 비율 항 $\int_\mathbb{R} \mu(dz) dL^z_t(Y)$ 가 유한한 변동성을 가지는 것이다. 이는 $\mu$ 가 매끄러운 측도이면서 과정이 보존적일 때 보장된다.