[論文レビュー] On generalizations of semi-Fredholm operators over C*-algebras

Stefan Ivković|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2019

Holomorphic and Operator Theory参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ユニタルC*-代数上のヒルベルトC*-加群へ古典的なフレドホルム型作用素理論を一般化する。一般化されたA-フレドホルム、一般化されたA-ウイール、および半A-B-フレドホルム作用素を導入し、バナッハ空間およびヒルベルト空間理論からの結果（合成や摂動不変性など）をC*-加群の文脈へ拡張する。有限ランク摂動がA-B-フレドホルム構造および指数を保存することを証明し、加群の分解と安定化定理を用いて主要な結果を確立する。

ABSTRACT

Starting from the definition of A-Fredholm and semi-A-Fredholm operator on the standard module over a unital C*- algebra A, introduced in [8] and [4], we construct various generalizations of these operators and obtain several results as an analogue or a generalization of the results in [1], [2], [3],[7]. Moreover, we study also non-adjointable semi-A-Fredholm operators as a natural continuation of the work in [6] on non-adjointable A-Fredholm operators and obtain an analogue or a generalization in this setting of the results in [4], [5].

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間およびバナッハ空間で発展した古典的フレドホルム作用素理論を、ユニタルC*-代数上のヒルベルトC*-加群の文脈へ拡張すること。
• 楊の一般化されたフレドホルム作用素、ジョルジェビッチの一般化されたウイール作用素、およびベルカニの半B-フレドホルム作用素の自然な一般化として、一般化されたA-フレドホルム、一般化されたA-ウイール、および半A-B-フレドホルム作用素を定義し、それらを研究すること。
• 文献[1]、[2]、[3]、[7]における主要な結果の類似または一般化を、特に合成、範囲の閉性、および有限ランク作用素による摂動に関して、ヒルベルトC*-加群の文脈で確立すること。
• 非有界作用素の半A-フレドホルム作用素の研究を、以前の非有界A-フレドホルム作用素の研究を拡張し、コンパクト作用素による片側逆元の性質を用いて代数的および位相的に特徴付けること。
• 範囲が標準的加群と同型でない場合に、有限ランク摂動のもとでA-B-フレドホルム指数が保存される条件を示し、安定化および分解技法を用いて証明すること。

提案手法

• 標準的ヒルベルトC*-加群HA上での一般化されたA-フレドホルム作用素を導入し、範囲が閉であること、核および余核が有限生成加群であることの要件を課すことにより、楊の定義を一般化する。
• 作用素の累乗の像における繰り返しによる範囲の閉性とA-フレドホルム性を用いて、半A-B-フレドホルム作用素を定義し、ベルカニの半B-フレドホルム理論を拡張する。
• カスパロフの安定化定理を適用して、可算生成加群に関する問題を標準的加群HAに還元し、指数理論が適切に定義可能であるようにする。
• 作用素の内部的および外部的（ノイザー的）分解を用いて、核および余核の有界性と有限生成性、および随伴性の分析を行う。
• 直交射影および加群同型を用いて摂動（特に有限ランク作用素）を分析し、安定化を介してそれらを標準的加群に埋め込む。
• 作用素Tが非有界作用素の半A-フレドホルムであるための必要十分条件は、B(HA)/K(HA)におけるその像が片側逆元をもつことであることを示し、[6]の結果を半フレドホルム設定へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な一般化されたフレドホルム作用素および半B-フレドホルム作用素の理論を、ユニタルC*-代数上のヒルベルトC*-加群の文脈へどのように拡張できるか？
• RQ2 バナッハ空間における一般化されたフレドホルム作用素の合成および摂動特性が、C*-加群の文脈へどの程度保存されるか？
• RQ3 有限ランク摂動がヒルベルトC*-加群におけるA-B-フレドホルム構造および指数を保存する役割は何か？
• RQ4 非有界作用素の半A-フレドホルム作用素は、コンパクト作用素による摂動に関して、代数的および位相的にどのように特徴付けられるか？
• RQ5 範囲がHAと同型でない場合に、有限ランク摂動のもとでA-B-フレドホルム指数が保存される条件は何か？

主な発見

• TがA-B-フレドホルム作用素であり、Fが有限ランク作用素で、すべてのn ≥ mに対してIm(T + F)^nが閉であるならば、T + FもA-B-フレドホルム作用素であり、index(T + F) = index(T)が成り立つ。これはベルカニの結果[2, 系3.3]を一般化する。
• 作用素TがHA上で非有界作用素の半A-フレドホルムであるための必要十分条件は、Calkin代数B(HA)/K(HA)におけるその像が片側逆元をもつことである。これは[6]の特徴付けを半フレドホルム設定へ拡張する。
• カスパロフの安定化定理を用いて可算生成加群をHAに埋め込むことにより、範囲がHAと同型でない場合でも半A-フレドホルム作用素の指数が適切に定義可能であることを示す。
• TがA-B-フレドホルムであり、Fが有限ランクで、すべてのn ≥ mに対してIm(T + F)^nが閉であるならば、制限作用素(T + F)|Im(T + F)^mもA-フレドホルムであり、指数が保存されることを証明する。
• ドジョルジェビッチの一般化されたウイール作用素に関する結果を一般化し、範囲が閉である2つの一般化されたA-ウイール作用素の合成が再び一般化されたA-ウイールであることを、カトウの定理の加群論的類似を用いて示す。
• 範囲がHAと同型でない場合に、有限ランク摂動のもとでA-B-フレドホルム指数が保存されることを証明する。そのために、関連する部分加群が安定化によりHAと安定同型であることを示す。