[論文レビュー] On Geometry of Manifolds with Some Tensor Structures and Metrics of Norden Type

Манчо Манев|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 95被引用数 3

ひとこと要約

本学位論文は、ほぼ複素構造、ほぼ接触構造、超複素構造、接触3重構造を備えた多様体の幾何学を調査し、それぞれの構造に関して反不変であるNorden型およびヘルミート＝Norden型の擬リーマン計量（中立的符号型）を考察する。本論文では、型付き接続を導入・分析し、アフィン接続を分類し、曲率性質および可積分性条件（特にニエンイズテンソルおよびショウテン＝ヴァン・カムペン接続を用いて）を研究し、中立的符号型を持つ一般化複素幾何および超複素幾何の基礎的結果を確立する。

ABSTRACT

The object of study in the present dissertation are some topics in differential geometry of smooth manifolds with additional tensor structures and metrics of Norden type. There are considered four cases depending on the dimension of the manifold: 2n, 2n + 1, 4n and 4n + 3. The studied tensor structures, which are counterparts in the different related dimensions, are the almost complex/contact/hypercomplex structure and the almost contact 3-structure. The considered metric on the 2n-dimensional case is the Norden metric, and the metrics in the other three cases are generated by it. The purpose of the dissertation is to carry out the following: 1. Further investigations of almost complex manifolds with Norden metric including studying of natural connections with conditions for their torsion and invariant tensors under the twin interchange of Norden metrics. 2. Further investigations of almost contact manifolds with B-metric including studying of natural connections with conditions for their torsion and associated Schouten-van Kampen connections as well as a classification of affine connections. 3. Introducing and studying of Sasaki-like almost contact complex Riemannian manifolds. 4. Further investigations of almost hypercomplex manifolds with Hermitian-Norden metrics including studying of integrable structures of the considered type on 4-dimensional Lie algebra and tangent bundles with the complete lift of the base metric; introducing of associated Nijenhuis tensors in relation with natural connections having totally skew-symmetric torsion as well as quaternionic Kähler manifolds with Hermitian-Norden metrics. 5. Introducing and studying of manifolds with almost contact 3-structures and metrics of Hermitian-Norden type and, in particular, associated Nijenhuis tensors and their relationship with natural connections having totally skew-symmetric torsion.

研究の動機と目的

• ほぼ複素構造およびほぼ接触構造を備えた多様体に対して、Norden型計量（擬リーマン計量、中立的符号型）を備えた包括的な幾何的枠組みを構築すること。
• B-計量を備えたほぼ接触多様体上のアフィン接続を分類し、幾何的構造と整合する型付き接続を構成すること。
• ヘルミート＝Norden計量を備えたほぼ超複素構造およびほぼ接触3重構造の可積分性および曲率性質を、関連するニエンイズテンソルおよびヘルミート＝Norden計量を用いて調査すること。
• これらの構造に適応した型付き接続およびショウテン＝ヴァン・カムペン接続の存在および性質を研究すること。
• 一般化複素幾何とヘルミート＝Norden計量の関係、特に接束およびリー代数における関係を探索すること。

提案手法

• 滑らかな多様体上の微分幾何的技法を用い、テンソル場、自己準同型、計量整合性条件に焦点を当てる。
• リーマン接続およびねじれの制約から導かれる、Norden/B-計量を備えたほぼ複素多様体およびほぼ接触多様体上の型付き接続を導入・分析する。
• ほぼ接触B-計量化構造に適応したショウテン＝ヴァン・カムペンアフィン接続を適用し、その曲率および可積分性を分析する。
• ほぼ超複素構造およびほぼ接触3重構造の可積分性条件を、ニエンイズテンソル分析を用いて研究する。
• 基本計量の接束への持ち上げを構成し、接束にほぼ超複素ヘルミート＝Norden構造を導入する。
• 構造定数および曲率解析を用いて、4次元実リー代数上におけるヘルミート＝Norden計量を備えた超複素構造を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Norden計量を備えたほぼ複素多様体上の型付き接続とは何か。また、リーマン接続とはどのように関係するか。
• RQ2 B-計量を備えたほぼ接触多様体上のアフィン接続はどのように分類可能か。その存在および一意性の条件は何か。
• RQ3 ショウテン＝ヴァン・カムペン接続は、ほぼ接触B-計量化構造の幾何学において果たす役割は何か。
• RQ4 ヘルミート＝Norden計量を備えたほぼ超複素多様体において、関連するニエンイズテンソルは可積分性をどのように特徴付けるか。
• RQ5 ヘルミート＝Norden計量を備えたクaternion的ケーラー多様体の曲率および構造的性質は何か。

主な発見

• 本論文は、Norden計量を備えたほぼ複素多様体上の型付き接続を構成・特徴付け、それらの存在およびNorden計量の二重交換に関して不変であることを示した。
• B-計量を備えたほぼ接触多様体上のアフィン接続の完全な分類が得られ、その接続が一意に定まる条件が同定された。
• ショウテン＝ヴァン・カムペン接続は、ほぼ接触B-計量化構造に適応され、その曲率およびねじれに関して分析された。
• ヘルミート＝Norden計量を備えたほぼ超複素多様体において、関連するニエンイズテンソルが計算され、可積分性条件の下で消えることが示され、複素構造が特徴付けられた。
• 4次元実リー代数上におけるヘルミート＝Norden計量を備えた超複素構造の分類がなされ、特定の代数的モデルおよび曲率不変量が同定された。
• 本論文は、ヘルミート＝Norden計量を備えたSasaki的ほぼ接触複素リーマン多様体が、特定の曲率対称性を有する型付き接続を有することを確立した。