[論文レビュー] On Half Cauchy Sequences

Frank J. Palladino|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、上昇または下降の片側コーシー列（half Cauchy sequence）という概念を導入し、単調列およびコーシー列の一般化として提示する。実数列が収束するための必要十分条件として、有界かつ片側コーシー列であること（half Cauchy）を示し、単調収束定理をより弱い条件下で拡張する新たな収束基準を提示する。

ABSTRACT

In this note we introduce and define half Cauchy sequences. We prove that a sequence of real numbers is convergent if and only if it is bounded and half Cauchy. We also provide an example of how the concept may be used.

研究の動機と目的

• 単調性よりも弱い条件を導入し、実数列の収束を保証する一般化された単調収束定理を提示すること。
• 片側コーシー型の有界性に基づく、上昇および下降の片側コーシー列という2つの新しい種類の列を定義・分析すること。
• 有界性と片側コーシー性を用いた必要十分条件として、実数列の収束を特徴付けること。
• 力学系における再帰的不等式への応用を通じて、この概念の実用的価値を示すこと。

提案手法

• 任意の ε > 0 に対して、ある N が存在し、すべての n ≥ m ≥ N に対して aₘ − aₙ < ε を満たす列を上昇片側コーシー列と定義する。
• 任意の ε > 0 に対して、ある N が存在し、すべての n ≥ m ≥ N に対して aₙ − aₘ < ε を満たす列を下降片側コーシー列と定義する。
• 上昇片側コーシー列または下降片側コーシー列（または両方）である列を片側コーシー列と定義する。
• 列がコーシー列であることと、上昇および下降片側コーシー列であることの同値性を証明し、標準的なコーシー条件と同等であることを示す。
• 列 aₙ ↦ −aₙ の変換による上昇・下降片側コーシー列の双対性を用いて、収束の証明を1つのケースに還元する。
• 再帰的列に対して有界性と片側コーシー条件を適用し、差の上限を評価し、limsup および liminf を用いた議論により収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調性よりも弱い条件を用いて、実数列の収束を保証することは可能か？
• RQ2 差の完全な対称性を要しないが、収束を捉える意味のあるコーシー条件の一般化は存在するか？
• RQ3 片側コーシー型の有界性を用いて、有界列の収束を特徴づけられるか？
• RQ4 片側コーシー列の概念は、再帰的システムにおける収束の証明に実用的なツールとして有用か？
• RQ5 片側コーシー条件は、標準的なコーシー定理および単調収束定理とどのように関係しているか？

主な発見

• 実数列が収束するための必要十分条件は、有界かつ片側コーシー列であることであり、単調収束定理がより弱い条件下で拡張される。
• すべての単調非減少列は上昇片側コーシー列であり、すべての単調非増加列は下降片側コーシー列である。
• 列がコーシー列であることと、上昇および下降片側コーシー列であることの同値性が成り立ち、片側コーシー性を両方向に組み合わせることで、標準的なコーシー条件と同等であることが示される。
• 0 ≤ xₙ ≤ xₙ₋₁ + yₙ₋₁ および 0 ≤ yₙ ≤ λyₙ₋₁（0 ≤ λ < 1）を満たす再帰的不等式で定義される列 {xₙ} は有界かつ下降片側コーシー列であり、したがって収束する。
• 列 {xₙ} に対して xₙ ≤ x₀ + y₀/(1 − λ) が成り立ち、一様有界性が保証される。
• n ≥ m ≥ N のとき、差 xₙ − xₘ は λᴺy₀/(1 − λ) で上から抑えられ、これは任意に小さくできるため、下降片側コーシー性が確認される。