[논문 리뷰] On hard quadrature problems for marginal distributions of SDEs with bounded smooth coefficients

Thomas Müller-Gronbach, Larisa Yaroslavtseva|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한번 미분 가능하고 유계인 계수를 가진 확률미분방정식(SDEs)에 대해, 계수와 그 도함수의 유한한 평가에 기반한 몬테카를로 방법이 국소 기대값을 계산할 때 다항 수렴 속도를 달성할 수 없다는 것을 입증한다. 핵심 결과는 임의로 느린 수렴 속도에 대해, 부드럽고 유계인 계수를 가진 SDE가 존재하여 평균 절대 오차가 그 속도를 초과해 수렴할 수 없음을 보여주며, 이러한 정규성 조건 하에서 SDE의 적분에 대한 본질적인 최악의 복잡도 장벽을 입증한다.

ABSTRACT

In recent work of Hairer, Hutzenthaler and Jentzen, see [9], a stochastic differential equation (SDE) with infinitely often differentiable and bounded coefficients was constructed such that the Monte Carlo Euler method for approximation of the expected value of the first component of the solution at the final time converges but fails to achieve a mean square error of a polynomial rate. In the present paper we show that this type of bad performance for quadrature of SDEs with infinitely often differentiable and bounded coefficients is not a shortcoming of the Euler scheme in particular but can be observed in a worst case sense for every approximation method that is based on finitely many function values of the coefficients of the SDE. Even worse we show that for any sequence of Monte Carlo methods based on finitely many sequential evaluations of the coefficients and all their partial derivatives and for every arbitrarily slow convergence speed there exists a sequence of SDEs with infinitely often differentiable and bounded by one coefficients such that the first order derivatives of all diffusion coefficients are bounded by one as well and the first order derivatives of all drift coefficients are uniformly dominated by a single real-valued function and such that the corresponding sequence of mean absolute errors for approximation of the expected value of the first component of the solution at the final time can not converge to zero faster than the given speed.

연구 동기 및 목표

• 부드럽고 유계인 계수를 가진 SDE 해의 기대값 수치적 근사의 수렴 속도의 기본 한계를 조사하는 것.
• 이전 연구에서 몬테카를로 오일러 방법을 사용할 때 관찰된 열악한 수렴 속도가 방법의 한계인지, 문제 클래스의 본질적 성질인지 판단하는 것.
• 계수와 그 도함수의 유한한 평가를 사용하는 모든 알고리즘의 수렴 속도에 대해 최악의 하한을 설정하는 것.
• 무한번 미분 가능하고 유계인 계수를 가질지라도 최악의 경우 다항 수렴이 이룰 수 없다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 부드럽고 유계인 계수, 그리고 드리프트 및 확산 계수의 일阶 도함수들이 균일하게 유계인 SDE의 가족을 구성한다.
• 해의 국소 분포에서 병리적인 행동을 유도하기 위해 계수 공간 내에서 진동 함수를 새로운 방식으로 구성한다.
• 증명은 함수 값과 그들이 가우시안 가중 적분을 통해 기대값에 미치는 영향 간의 이질성에 기반한 하한 기법을 사용한다.
• 핵심 기술 도구는 점별 차이가 작음에도 불구하고 적분 기능에서의 차이가 0에서 벗어나 있는, 부드러운 함수 클래스 내의 함수 쌍을 구성하는 것이다.
• 모든 결정론적 또는 몬테카를로 방법의 오차에 대한 하한을 유도하기 위해 사인 적분과 가우시안 측도를 사용한 편미분 기법을 적용한다.
• 유계성과 부드러움을 유지하면서도 최악의 오차 구조를 유지하기 위해 부드럽고 컴actsupport된 함수와 그 도함수의 성질을 분석에 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 부드럽고 유계인 계수를 가진 SDE 해의 첫 번째 성분 기대값을 계산하기 위해 계수와 그 도함수의 유한한 평가에 기반한 어떤 수치적 방법도 다항 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ2 일부 SDE에 대해 몬테카를로 오일러 방법에서 관찰된 열악한 수렴 속도는 방법의 한계인지, 문제 클래스의 본질적 성질인가?
• RQ3 무한번 미분 가능하고 유계인 계수를 가진 SDE의 적분에 대해 달성 가능한 최악의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ4 고차수 방법이나 더 정교한 샘플링 전략을 사용함으로써 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 임의로 느린 수렴 속도에 대해, 무한번 미분 가능하고 유계인 계수를 가진 SDE의 수열이 존재하여, 계수와 그 도함수의 유한한 평가에 기반한 어떤 몬테카를로 방법도 그보다 더 빠른 수렴 속도를 달성할 수 없다.
• 모든 드리프트 및 확산 계수의 일阶 도함수는 1 이하로 균일하게 유계이며, 드리프트 계수의 일阶 도함수는 단일 적분 가능 함수에 의해 지배된다.
• 시간 1에서 해의 첫 번째 성분 기대값을 근사할 때의 평균 절대 오차는 주어진 비다항 수렴 속도보다 더 빠르게 0으로 수렴할 수 없다.
• 모든 계수와 그 일阶 도함수가 1 이하로 유계여도 결과가 유지되며, 이는 부드러움만으로는 적분의 처리 가능성 보장이 되지 않음을 보여준다.
• 오차에 대한 최악의 하한은 계수 함수의 임계점에서의 역수에 의해 명시적으로 정량화되며, 그 제곱에 대해 지수적으로 감소한다.