[논문 리뷰] An explicit Euler scheme with strong rate of convergence for financial SDEs with non-Lipschitz coefficients

Jean-François Chassagneux, Antoine Jacquier외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 금융 모델에서 흔히 볼 수 있는 비-립시츠 계수를 가진 확률미분방정식(SDE)을 위한 수정된 명시적 오일러-마루야마 스킴을 제안한다. 이 스킴은 투영 기법과 비-립시츠 확산에 대한 람베르티 변환을 결합하여, $L^{1+\varepsilon}$-노름에서 최적의 강한 수렴 속도를 달성한다. 이를 통해 최대 40배의 계산적 절감을 이끌어내는 효율적인 다수준 몬테카를로 가격 설정이 가능해진다.

ABSTRACT

We consider the approximation of stochastic differential equations (SDEs) with non-Lipschitz drift or diffusion coefficients. We present a modified explicit Euler-Maruyama discretisation scheme that allows us to prove strong convergence, with a rate. Under some regularity and integrability conditions, we obtain the optimal strong error rate. We apply this scheme to SDEs widely used in the mathematical finance literature, including the Cox-Ingersoll-Ross~(CIR), the 3/2 and the Ait-Sahalia models, as well as a family of mean-reverting processes with locally smooth coefficients. We numerically illustrate the strong convergence of the scheme and demonstrate its efficiency in a multilevel Monte Carlo setting.

연구 동기 및 목표

• 금융 모델에서 흔히 나타나는 국소적으로 리프시츠가 아닌 드리프트 및 확산 계수를 가진 SDE에 대해 기존 명시적 스킴의 강한 수렴 속도 부족 문제를 해결하기 위해.
• 진짜 SDE의 상태공간 내에 머물도록 보장하면서도 폭주나 음수 값이 발생하지 않도록 하는 계산적으로 효율적인 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• CIR, $3/2$, Ait-Sahalia 모델을 포함한 광범위한 SDE 클래스에 대해 온화한 정규성 및 적분 가능성 조건 하에 최적의 강한 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 다수준 몬테카를로(MLMC) 가격 설정을 효율적으로 가능하게 하기 위해 $L^{1+\varepsilon}$-노름에서의 수렴을 증명하고, $\varepsilon=1$이 MLMC 응용에 적합함을 보이기 위해.
• 기존의 테임드 및 투영 스킴을 일반화하여 도메인의 양끝에서 동시에 비-립시츠 행동을 다룰 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 수치적 해가 도메인 $ (0,\infty) $ 내에 머물도록 보장하는 투영 기법을 적용한 수정된 명시적 오일러-마루야마 스킴을 도입하여 음수 값을 방지한다.
• 비-립시츠 확산을 가진 SDE를 상수 확산을 가진 SDE로 변환하기 위해 람베르티 변환을 적용한다. 이 과정에서 비연속성은 드리프트로 이동한다.
• 드리프트에 국소 리프시츠 조건과 한쪽 방향 리프시츠 조건을 적용하여 성장과 안정성을 제어한다.
• 진짜 과정과 근사 과정 간의 오차를 분석하고, 모멘트 한계 및 국소화 기법을 활용하여 $L^{1+\varepsilon}$-노름에서의 강한 수렴을 확립한다.
• 시간 간격의 계층을 사용하고, 수준 간 차이를 통한 분산 감소 기법을 적용하여 다수준 몬테카를로(MLMC) 프레임워크에 스킴을 구현한다.
• 수치적 안정성을 확보하기 위해 투영 스킴에서 $k=1/4$와 $L=0.01$을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명시적 오일러 스킴에 투영 기법을 적용한 경우, 금융 수학에서 흔한 비-립시츠 계수를 가진 SDE에 대해 강한 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 특히 CIR 및 $3/2$ 모델과 같은 경우에 이러한 스킴이 달성할 수 있는 최적의 강한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 MLMC 환경에서 기존의 표준 몬테카를로 및 테임드/암시적 스킴과 비교해 본다면, 제안된 스킴의 효율성은 어떠한가?
• RQ4 스테이트 스페이스의 양끝에서 동시에 비-립시츠 행동을 다룰 수 있는가?
• RQ5 이 스킴을 사용한 MLMC 구현이 표준 몬테카를로 대비 계산 절감 요소는 몇 배인가?

주요 결과

• 수정된 오일러 스킴은 $\varepsilon \geq 0$ 인 $L^{1+\varepsilon}$-노름에서 최적의 수렴 속도 $1/2$ 를 달성하며, $\varepsilon=1$ 일 때 MLMC 응용이 가능하다.
• CIR 모델의 경우, 표준 몬테카를로 대비 MLMC에서 최대 27배의 계산 절감을 달성했고, $\varepsilon=0.000005$ 일 때는 최대 40.97배까지 절감되었다.
• 상관계수 $\rho = -0.7$ 인 CIR 스프레드 옵션 예제에서, $\varepsilon=0.000005$ 일 때 MLMC 구현이 표준 몬테카를로 대비 47.19배의 절감을 달성했다.
• 이전에 도전 과제였던 $3/2$-모델에 대해서도 성공적으로 적용되었으며, 비고(비고 4.2)에서 새로운 수렴 결과가 확립되었다.
• 수치 결과는 MLMC에서의 차이 분산이 표준 오일러 스킴의 약 반정도의 약한 수렴 속도로 감소함을 확인했다.
• 비-립시츠 계수에 대해 안정성과 수렴성을 보장하면서도, 명시적 오일러-마루야마 스킴과 유사한 계산 비용을 유지한다.