[論文レビュー] On Hilbert and Riemann problems. An alternative approach

Vladimir Ryazanov|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2015

Analytic and geometric function theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Bagemihl–Seidel（BS）クラスのJordan曲線に沿った接線的極限に非接線的極限を置き換えることで、ヒルベルトおよびリーマンの境界値問題に対する新しいアプローチを提案する。可測境界データに対して解が存在することを証明し、解空間が無限次元であることを示しており、連続データにおける古典的設定を著しく一般化している。

ABSTRACT

Recall that the Hilbert (Riemann-Hilbert) boundary value problem was recently solved in \cite{R1} for arbitrary measurable coefficients and for arbitrary measurable boundary data in terms of nontangential limits and principal asymptotic values. Here it is developed a new approach making possible to obtain new results on tangential limits. It is shown that the spaces of the found solutions have the infinite dimension for prescribed collections of Jordan arcs terminating in almost every boundary point. Similar results are proved for the Riemann problem.

研究の動機と目的

• 古典的な Hölder や連続境界データを超えて、可測境界データへのヒルベルトおよびリーマン問題の可解性を拡張すること。
• 非接線的極限を、所定のJordan曲線族に沿った接線的極限に置き換えること。
• 可測境界データを用いて、最小限の正則性仮定のもとで解の存在を確立すること。
• 任意の所定の境界データおよび曲線族に対して、解空間が無限次元であることを示すこと。
• 可測境界条件をもつ非線形リーマン問題を解くための基盤を築くこと。

提案手法

• 本稿は、各境界点に終着する特定の位相的および幾何的条件を満たすJordan曲線族であるBagemihl–Seidel（BS）クラスを用いる。
• 非接線的および接線的極限を用いた正則関数の境界値理論を用い、[1]におけるこのような曲線に沿った境界値に関する結果に依拠する。
• 曲線領域を円形領域に正則写像で変換し、半径線をBS曲線に写像するアプローチを採用する。
• 拡張された複素平面における反転および複素共役を用いて、非有界領域を有界領域に還元する。
• 解の構成は、可測境界データがBS曲線に沿った極限条件を通じて正則関数に引き上げられることに依存する。
• 非線形問題では、$ \Phi(\zeta, v, w) = 0 $ の形をとる可測関係を解くことにより境界条件を簡略化し、Carathéodory条件を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測境界データに対して、非接線的極限の代わりに接線的極限を用いてヒルベルト問題を解くことは可能か？
• RQ2 境界データが可測で、曲線がBSクラスの場合、ヒルベルト問題の解空間の次元はいかほどか？
• RQ3 可測データおよびシフト関数をもつリーマン問題は、BS曲線に沿った接線的極限を用いて解けるか？
• RQ4 境界値問題において非接線的極限から接線的極限に置き換えると、解空間の構造はどのように変化するか？
• RQ5 可測境界条件をもつ非線形リーマン問題は、代数的関係の可測性に還元可能か？

主な発見

• 可測境界データ $ \varphi $, $ \psi $, および $ \lambda $（ただし $ |\lambda| \equiv 1 $）に対して、BS曲線に沿った接線的極限のもとでヒルベルト問題の解が存在する。
• ヒルベルト問題の解空間は、可測関数 $ \psi $ の無限次元性に起因し、無限次元である。
• 可測データおよびシフト関数をもつリーマン問題に対しても同様の結果が成り立ち、BS曲線に沿って解が存在する。
• 非線形リーマン問題において、境界条件 $ \Phi(\zeta, f^+, f^-) = 0 $ が $ \partial D $ 上 almost everywhere（ a.e.）で成り立つのは、$ \Phi $ がCarathéodory条件を満たす場合に限る。
• 境界条件 $ f^+(\zeta) = \varphi(\zeta, f^-(\zeta)) $ が $ \partial \mathbb{D} $ 上 almost everywhere で成り立つ非線形問題の解空間は、$ \varphi $ がCarathéodory条件を満たす場合に無限次元である。
• 反転および複素共役を用いることで、非有界領域に対してもこの手法を拡張でき、可解性および無限次元解空間が保たれる。