[論文レビュー] On hybrid simulation schemes for stochastic reaction dynamics

Sergey Plyasunov|ArXiv.org|Apr 22, 2005

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ウィenerおよびポアソン確率測度によって駆動されるジャンプ・ドリフトSDEとしてシステムをモデル化することにより、確率的反応ネットワークのハイブリッドシミュレーションフレームワークを提案する。これにより、反応物を離散的および連続的成分に分割することで、効率的なシミュレーションが可能になる。主な貢献は、リプシッツ条件およびポアソンジャンプサンプリングの下で、強収束の順序 $ h^{2p} $ を達成する厳密な誤差解析を示したことである。ここで $ p = 1/2 $ はオイラー法に対応する。

ABSTRACT

The existing literature on stochastic simulation of chemical reaction networks has a tendency to move as quickly as possible to the abstract formulation of the stochastic dynamics in terms of probabilities based on the concept of the Chemical Master Equation (CME), largely ignoring sample path representation. In this publication we discuss both theoretical basis and numerical approach for the problems in this area using sample path methods as a crucial part of the process. Relying as it does on a representation of the underlying stochastic processes as a weak solution of a system of stochastic differential equations driven by Poisson random measures this approach brings to bear a heretofore ignored but quite effective problem solving methodology. We first present a simple and intuitive way of partitioning species and reactions of the interaction network into different groups. We then discuss how original stochastic dynamics with state dependent intensities of transitions can be reformulated in terms of jump-diffusion stochastic differential equations driven by both Wiener noise sources and Poisson random measures. Finally, we show that this approach facilitates the construction of hybrid simulation techniques, an important step in the creation of efficient techniques for modeling multi-scale stochastic dynamics of the reaction networks. Numerical methods related to sampling events from Poisson random measures are demonstratedon simple intuitive examples. Error control analysis of the finite differences scheme is also presented.

研究の動機と目的

• 大規模かつマルチスケールな反応ネットワークにおける正確な確率的シミュレーションアルゴリズム（SSA）の計算非効率性を解消すること。
• 一部の種を連続的拡散とし、他の種を離散的ジャンプとして扱うハイブリッドシミュレーション手法を開発し、正確性を損なわずに効率性を向上させること。
• ポアソン確率測度によって駆動されるSDEの弱解を用いたハイブリッドスキームの理論的基盤を確立すること。
• 特に状態依存の強度およびジャンプ過程を想定した場合の数値スキームの誤差バインディングを確立すること。
• $\tau$-リーピングの原理を用いた時間的粗大化と、ポアソン確率測度からのサンプリングにより、実装可能性を高めること。

提案手法

• 反応ネットワークを二つのグループに分割：低濃度の種は離散的ジャンプとして扱い、高濃度の種は連続的拡散としてモデル化する。
• 元のジャンプ過程を、ウィーナー過程およびポアソン確率測度によって駆動されるジャンプ・ドリフトSDEに再定式化し、状態依存の遷移強度を捉える。
• 時間離散化スキームを用い、拡散成分には $\tau$-リーピングを、ジャンプ成分には正確なイベントサンプリングを適用する。ジャンプ時刻 $\{\tau_n^\Lambda\}$ が分割を定義する。
• イト-スコロホド微積分を用いて誤差バインディングを導出。$L^2$-誤差の制御にはドーブの不等式およびグロワールの補題を用いる。
• $p$-次強収束を示す数値スキーム（例：$p = 1/2$ のオイラー法）を用いて、ポアソン確率測度からのジャンプイベントのサンプリングを行う。
• 反応物関数のリプシッツ連続性の仮定に基づき、条件付き期待値を用いて離散的成分 $\mathbf{X}$ および連続的成分 $\boldsymbol{\sigma}$ の誤差を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的および連続的ダイナミクスを組み合わせることで、マルチスケールな確率的反応ネットワークを効率的にモデル化するハイブリッドシミュレーションスキームをどのように構築できるか？
• RQ2 状態依存の遷移強度およびジャンプ過程を想定した場合、そのようなハイブリッドスキームの理論的誤差挙動はいかなるものか？
• RQ3 ポアソン確率測度およびSDEの使用は、広範な種の濃度を有する系において、従来のKMC/SSAよりもより効果的なフレームワークを提供できるか？
• RQ4 時間分割の選択および $\tau$-リーピングの適用が、ハイブリッド法の精度および収束性にどのように影響するか？
• RQ5 連続的拡散近似と正確なジャンプサンプリングを組み合わせた数値スキームの強収束速度は何か？

主な発見

• 反応物関数のリプシッツ連続性の下で、ハイブリッドスキームは強収束の順序 $ h^{2p} $ を達成する。ここで $ p = 1/2 $ はオイラー法に対応する。
• 離散的成分 $\mathbf{X}$ および連続的成分 $\boldsymbol{\sigma}$ の誤差は、$ \epsilon_X([0,T)) \leq C(\{\tau_n^\Lambda\}, T) h^{2p} $ で有界である。ここで $ C $ はジャンプ時刻および区間長に依存する。
• 誤差バインディングは、拡散近似誤差およびジャンプに起因する誤差の両方を考慮しており、後者はジャンプ強度関数のリプシッツ連続性により制御される。
• ドーブの不等式およびグロワールの補題の使用により、各ジャンプ間の時間区間における $L^2$-誤差がきめ細かく制御可能である。
• 数値的妥当性の検証により、正確なSSAと比較して著しく計算コストを削減しながらも、十分な精度を維持していることが確認された。
• $\tau$-リーピングを用いた時間的粗大化が可能であり、種の濃度の閾値に基づいて正確更新と近似更新の間で適応的に入れ替えることも可能である。