[論文レビュー] On Increasing and Invariant Parking Sequences

Ayomikun Adeniran, Catherine H. Yan|arXiv (Cornell University)|May 10, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、車両の長さが可変であり、固定順序で駐車する古典的駐車関数の一般化である増加的かつ不変駐車列を導入し、分析する。ラティスパスへの双対写像および組合せ的特徴付けを用いて、順列不変および長さ不変駐車列の正確な数え上げ式を導出する。特に、総長さ $n$ およびトレーラー容量 $z$ における $k$-強駐車列の数が $k \neq n$ のとき $z^{(k)}$ であり、$k = n$ のとき $(n+1)^{n-1}$ であることを示している。本研究は、可変長車両および長さと順序の置換に対して不変な駐車行動を含む、駐車関数の組合せ理論を拡張する。

ABSTRACT

The notion of parking sequences is a new generalization of parking functions introduced by Ehrenborg and Happ. In the parking process defining the classical parking functions, instead of each car only taking one parking space, we allow the cars to have different sizes and each takes up a number of adjacent parking spaces after a trailer $T$ parked on the first $z-1$ spots. A preference sequence in which all the cars are able to park is called a parking sequence. In this paper, we study increasing parking sequences and count them via bijections to lattice paths with right boundaries. Then we study two notions of invariance in parking sequences and present various characterizations and enumerative results.

研究の動機と目的

• 与えられた長さベクトル $\vec{y}$ に対して、右移動が累積車両長に制限されたラティスパスへの双対写像を用いた増加的駐車列の列挙を研究すること。
• 車両長の任意の並び替えに対して不変となる駐車列を、任意の長さベクトル $\vec{y}$ に対して特徴付けること。
• 固定された総長さ $n$ を $k$ 部分に分割するすべての組成に対して有効であるような $k$-強駐車列を定義し、その列挙を行うこと。
• 古典的駐車関数の枠組みを、可変車両長および長さと順序の置換に対して不変な駐車行動を含むように拡張すること。

提案手法

• 累積車両長によって定義される右境界に制限されたラティスパスと増加的駐車列との間の双対写像を確立すること。
• 長さベクトル $\vec{y} = (y_1, \dots, y_n)$ の順序統計を用いて、不変駐車列の数え上げ式を導出すること。
• すべての $n$ を $k$ 部分に分割する組成に対して $\mathsf{SPS}$ 集合の共通部分として $k$-強駐車列を定義し、特に最小長の組成 $\vec{y}_0 = (1^{k-1}, n-k+1)$ に注目すること。
• 組合せ的議論および包含除算法を用いて、$\mathsf{SPS}_k(n;z) = \mathsf{SPS}\{\vec{y}_0; z\}$ を証明し、問題を単一の代表的組成に還元すること。
• 長さベクトルの構造と駐車プロセスを用いて、$\#\mathsf{SPS}_k(n;z) = z^{(k)}$（$k \neq n$）および $z(n+z)^{n-1}$（$k = n$）の公式を導出すること。
• 長さベクトルが定数でない場合、駐車列は置換に対して不変ではないことを、反例を構成することで証明すること（例：長さ $2,2$ の車両と希望位置 $(2,1)$ は再配置後に駐車不能）

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた長さベクトル $\vec{y}$ に対して、増加的駐車列の数は何か？ また、右移動が累積車両長に制限されたラティスパスへの双対写像を用いてどのように列挙できるか？
• RQ2 どの長さベクトル $\vec{y}$ に対して、駐車列が車両順序のすべての置換に対して不変となるか？
• RQ3 固定された総長さ $n$ およびトレーラー容量 $z$ に対して、$k$-強駐車列の集合のサイズは何か？ すなわち、$n$ を $k$ 部分に分割するすべての組成に対して有効な駐車列の数は？
• RQ4 長さベクトル $\vec{y}$ が置換されたとき、駐車列が有効なまま保たれる条件は何か？ そして、このような駐車列をどのように組合せ的に特徴付けることができるか？

主な発見

• 総車両長 $n$ およびトレーラー容量 $z$ における $k$-強駐車列の数は、$k \neq n$ のとき $z^{(k)} = z(z+1)\cdots(z+k-1)$ であり、Corollary 4.5 で示されている。
• $k = n$ のとき、$k$-強駐車列の数は $(n+1)^{n-1}$ であり、これは古典的駐車関数の数に一致する。
• $k \neq n$ のとき、集合 $\mathsf{SPS}_k(n;z)$ は $\mathsf{SPS}\{\vec{y}_0; z\}$ に等しい。ここで $\vec{y}_0 = (1^{k-1}, n-k+1)$ であり、Proposition 4.4 で確立されている。
• すべての定数でない $\vec{y}$ に対して、公式 $\#\mathsf{SPS}\{\vec{y}; z\} = z \cdot \prod_{i=1}^{n-1} (z + y_{(1)} + \cdots + y_{(i)})$ が成り立つ。これは Corollary 4.3 による。
• 長さベクトルが定数でない場合、駐車列は車両長の置換に対して不変ではない。長さ $2,2$ の車両と希望位置 $(2,1)$ が再配置後に駐車不能である反例によって示されている。
• $k$-強駐車列の集合は空でなく、有限である。$\mathsf{SPS}_1(n) = \{(1)\}$ かつ $\mathsf{SPS}_n(n) = \mathsf{PF}_n$（古典的駐車関数）である。