[論文レビュー] On Integrable Systems & Rigidity for PDEs with Symmetry

Roy Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 48被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、対称性をもつ可積分系のための層論的枠組みを構築し、モーザーの経路法と擬群論を用いて、偏微分方程式およびポアソン構造における局所的剛性結果を確立する。主たる貢献は、変形コホロロジーとナッシュ＝モーザー反復を用いて、エリアッソンの結果を一般化した非退化特異点のための一般線形化定理の確立である。

ABSTRACT

This thesis is divided into two parts. In the first part we study completely integrable systems, and their underlying structures, in detail. We study their deformation theory and the different equivalence relations surrounding it. We motivate the definition of weak equivalence (found in the literature) by studying different interpretations of the concept `singular Lagrangian foliation'. Finally, we prove a normal form theorem inspired by the Moser path method. In the second part we study the deformation theory of a PDE with a pseudogroup of symmetries in general. We prove that a solution is rigid if its deformation cohomology vanishes and certain `tame' estimates hold, inspired by the Nash-Moser fast convergence method. An essential detail is that this statements holds for local solutions of the PDE around a compact submanifold. We give alternative proofs for several classical normal form theorems, as applications. Key Words: completely integrable systems, singular foliations, singular Lagrangian foliations, closed pseudogroups, Lie algebra sheaves, geometric PDEs, local rigidity, normal forms, Nash-Moser, Moser path method, Newlander-Nirenberg, Eliasson.

研究の動機と目的

• 可積分系における特異的foliationとその幾何的構造に特に注目して、可積分系のための層論的基盤を確立すること。
• 変形コホロロジーと擬群作用を用いて、エリアッソンの非退化特異点の線形化定理を一般化すること。
• 変形の障害を分析することにより、対称性をもつ偏微分方程式の局所的剛性結果を証明すること。
• ダーブックスの定理やニューランダー＝ニレングェルの定理といった古典的結果を、可積分系とポアソン幾何学の統一的枠組み内で再統合・拡張すること。
• ナッシュ＝モーザー反復と閉じた擬群を用いて、非退化固定点近傍における可積分系の一般線形化定理を構築すること。

提案手法

• 可積分系から生じる特異的foliationをモデル化するために層論を用い、特にハミルトニアンベクトル場の層とラグランジュfoliationに注目する。
• モーザーの経路法を用いて、シンプレクティック構造と運動量写像の間の同相型写像を構成し、コホロロジー類のホモトピーを用いる。
• 変形コホロロジーを導入して、可積分系の無限小変形を分類し、線形化の障害を分析する。
• 微分の損失が生じる非線形偏微分方程式の文脈において、逆問題を解くためにナッシュ＝モーザー反復スキームを用いる。
• 偏微分方程式の対称性群としての閉じた擬群を分析し、そのリー代数層と自然なバンドルを構成して、局所不変量を研究する。
• コホロロジー群の消滅を用いて、ポアソン構造、リー代数、複素構造に関する剛性定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分系の層論的構造は、特異点近傍におけるその局所正規形を理解するためにどのように利用できるか？
• RQ2 変形コホロロジーは、非退化固定点近傍における可積分系の線形化の障害を特定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 擬群対称性は、偏微分方程式およびポアソン構造の剛性をどの程度制御するか？
• RQ4 モーザーの経路法は、非正則的で特異的な対称性をもつ可積分系へと拡張可能か？
• RQ5 ナッシュ＝モーザー反復スキームは、微分の損失が生じる可積分系の線形化において、どのようにして解決されるか？

主な発見

• 非退化特異点のための一般線形化定理が確立され、変形コホロロジーを用いてエリアッソンの結果を一般化した。
• 可積分系に付随するハミルトニアンベクトル場の層が、特異的foliationのセクションの層と同型であることが示され、幾何的特徴づけが得られた。
• モーザーの経路法が、運動量写像を保存するシンプレクティック同相型写像の構成を可能にするよう、可積分系に適応された。
• 主な剛性定理は、変形複体の第一および第二コホロロジー群が消えるならば、系は小さな摂動に対して局所的に剛性であることを示している。
• 本理論により、ダーブックスの定理やニューランダー＝ニレングェルの定理といった古典的結果が、一般枠組みの特別な場合として回復された。
• ナッシュ＝モーザー反復スキームが、微分の損失が生じる状況下でも非線形逆問題を解くために成功裏に適用され、非退化固定点近傍に線形化微分同相写像の存在が証明された。