[논문 리뷰] On irreducibility of modules of Whittaker type for cyclic orbifold vertex algebra

Dražen Adamović, Ching Hung Lam외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 원형 보손 바이어클드 대칭의 모듈러성에 대한 Dong-Mason 정리의 일반화를 통해, Whittaker 유형의 약한 모듈러에 대해 불가약성을 증명한다. Twisted 복사본들로 구성된 군적 모듈러 $\mathcal{M} = \bigoplus_{i=0}^{p-1} W \circ g^i$를 구성하고, 리 대수의 실현과 Whittaker 함수를 활용하여, 만약 $W \circ g^i$들이 상호 비동형이라면, $W$는 고정점 부분대수 $V^{\langle g\rangle}$ 위에서 여전히 불가약하다는 것을 증명한다. 이는 히젠베르크 및 와일 보손 대수에서 Whittaker 모듈러의 불가약성에 대한 보손 대수적 증명을 제공하며, 수준 $-1/2$에서의 애파인 보손 대수에도 적용된다. 주요 기여는 Zhu 대수 이론에 의존하지 않고, 군 작용 하에서의 약한 모듈러의 불가약성에 대한 일반 기준을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

We extend the Dong-Mason theorem on the irreducibility of modules for orbifold vertex algebras from [C. Dong, G. Mason, Duke Math. J. 86 (1997)] 305-321] for the category of weak modules. Let $V$ be a vertex operator algebra, $g$ an automorphism of order $p$. Let $W$ be an irreducible weak $V$--module such that $W,W\circ g,\dots,W\circ g^{p-1}$ are inequivalent irreducible modules. We prove that $W$ is an irreducible weak $V^{\left\langle g ight angle }$-module. This result can be applied on irreducible modules of certain Lie algebra $\mathfrak L$ such that $W,W\circ g,\dots,W\circ g^{p-1}$ are Whittaker modules having different Whittaker functions. We present certain applications in the cases of the Heisenberg and Weyl vertex operator algebras.

연구 동기 및 목표

• 오르비 모듈러의 불가약성에 대한 Dong-Mason 정리를 일반 모듈러에서 약한 모듈러로 확장한다.
• Zhu 대수 이론에 의존하지 않고, Whittaker 유형 모듈러의 불가약성에 대한 보손 대수적 증명을 확립한다.
• 만약 Twisted 모듈러 $W \circ g^i$들이 상호 비동형이라면, $W$가 $V^{\langle g\rangle}$-모듈러로서 불가약하다는 일반 기준을 제공한다.
• 히젠베르크 및 와일 보손 대수에 적용하여, 표준 Whittaker 모듈러의 불가약성을 증명한다.
• 오르비 구조를 통해 애파인 보손 대수, 예를 들어 $V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$에서 새로운 불가약한 모듈러를 구성한다.

제안 방법

• 각 성분이 $V^\langle g\rangle$-모듈러로서 $W$와 동형인 $V^\langle g\rangle$-모듈러 $\mathcal{M} = \bigoplus_{i=0}^{p-1} W \circ g^i$를 구성한다.
• 모든 $w \neq 0$에 대해 $(w, \dots, w)$ 형태의 비영벡터가 $\mathcal{M}$에서 순환적임을 증명하여, $W$가 $V^\langle g\rangle$ 위에서 불가약하다는 것을 유도한다.
• 보손 대수 $V$에 관련된 리 대수 $\mathfrak{g}(V)$와 그 보편 포락선 대수를 사용하여 순환 벡터 문제를 결합 대수적 설정으로 환원한다.
• 특수한 경우 $W \cong W \circ g$에서 $\mathbb{Z}_p$ 작용에 대해 일반 Schur의 보조정리를 적용하여, $W$가 $p$개의 불가약한 $V^\langle g\rangle$-모듈러의 직합으로 분해됨을 보인다.
• 와일 대수 $\widehat{\mathcal{A}}$에 대해 최대 왼쪽 이상 $a(n) - \lambda_n$, $a^*(n) - \mu_n$를 생성자로 가지는 이상을 정의하고, 이들이 $\widehat{\mathcal{A}}$-모듈러로서 불가약하다는 것을 보인다.
• 와일 보손 대수 $M$에 대해 $a(n) \mapsto \zeta_p a(n)$, $a^*(n) \mapsto \zeta_p^{-1} a^*(n)$로 정의되는 자동형사상 $g_p$를 사용하고, $i = 0, \dots, p-1$에 대해 $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu}) \circ g_p^i$가 서로 다른 Whittaker 함수를 가짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Zhu 대수 이론을 사용하지 않고, 오르비 모듈러의 불가약성에 대한 Dong-Mason 정리를 약한 모듈러로 확장할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조건에서 불가약한 약한 $V$-모듈러 $W$가 고정점 부분대수 $V^{\langle g\rangle}$ 위에서 불가약한가?
• RQ3 무한차원 리 대수의 Whittaker 모듈러는 어떻게 사용되어 확장된 Dong-Mason 정리의 조건을 만족하는 예를 만들 수 있는가?
• RQ4 $W$가 Twisting 하에서 서로 다른 Whittaker 함수를 가지는 Whittaker 모듈러일 때, 와일 보손 대수 $M$의 $\mathbb{Z}_p$-오르비의 구조는 어떠한가?
• RQ5 새로운 기준은 애파인 보손 대수, 예를 들어 $V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$에서 불가약한 모듈러를 실현하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $W$가 불가약한 약한 $V$-모듈러이고, 모든 $i = 1, \dots, p-1$에 대해 $W \circ g^i \ncong W$이면, $W$는 약한 $V^{\langle g\rangle}$-모듈러로서 불가약하다.
• $W \cong W \circ g$인 경우, 모듈러 $W$는 $p$개의 불가약한 $V^{\langle g\rangle}$-모듈러의 직합으로 분해된다.
• 와일 보손 대수 $M$에 대해, 표준 Whittaker 모듈러 $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$는 약한 $M$-모듈러로서, 또한 $\widehat{\mathcal{A}}$-모듈러로서 불가약하다.
• $p=2$일 때, $\mathbb{Z}_p$-오르비 $M^{\mathbb{Z}_p}$는 단순한 애파인 보손 대수 $V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$와 동형이며, $\Lambda \neq 0$이면 $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$는 이 오르비 위에서 불가약하다.
• $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$는 $\mathfrak{n}$이 $n \geq 0$에 대해 $a(n), a^*(n+1)$으로 생성하는 영향을 받는 담비 부분대수인 Whittaker 쌍 $(\mathfrak{L}, \mathfrak{n})$에 대해 수준 1의 표준 Whittaker 모듈러이다.
• $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu}) \circ g_p^i$의 Twisted 모듈러는 서로 다른 Whittaker 함수 $\Lambda^{(i)} = (\zeta_p^i \bm{\lambda}, \zeta_p^{-i} \bm{\mu})$를 가지며, 이는 $M^{\mathbb{Z}_p}$ 위에서의 불가약성 조건을 만족한다.