[论文解读] On Irreducible Symplectic Varieties of $\mathrm{K3}^{[n]}$-type in Positive Characteristic

Ziquan Yang|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 59被引用 4

一句话总结

本文在特征零或 $ p > n+1 $ 的域上建立了 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型不可约辛流形的良好定义，构建了其混合特征模空间，并将奥古斯的晶体 Torelli 定理推广至特征正的 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形。其核心贡献是建立了一个晶体 Torelli 定理，通过其晶体上同调与 Néron-Severi 群结构对这类流形进行分类。

ABSTRACT

We show that there is a good notion of irreducible sympelectic varieties of $\mathrm{K3}^{[n]}$-type over an arbitrary field of characteristic zero or $p > n + 1$. Then we construct mixed characteristic moduli spaces for these varieties. Our main result is a generalization of Ogus' crystalline Torelli theorem for supersingular K3 surfaces. For applications, we answer a slight variant of a question asked by F. Charles on moduli spaces of sheaves on K3 surfaces and give a crystalline Torelli theorem for supersingular cubic fourfolds.

研究动机与目标

• 在特征零或 $ p > n+1 $ 的任意域上定义 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形的稳健概念，扩展经典复数域与 $ p $-进域的定义。
• 为具有本原极化的 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形构建混合特征模空间，证明其为有限型的 Deligne-Mumford 堆栈，且存在由正规拟射影概形构成的有限平态覆盖。
• 将奥古斯对奇异 K3 曲面的晶体 Torelli 定理推广至正特征下更高维的 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形。
• 解决 F. Charles 提出的一个变体问题，即在正特征下 K3 曲面上层模空间的有界性问题。
• 通过其直线的法诺簇，为奇异三次四fold 建立晶体 Torelli 定理。

提出的方法

• 通过向 $W(k)$ 的提升并满足相容极化与 Hodge 数条件，在特征 $p > n+1$ 的完美域 $k$ 上定义 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形。
• 利用形式形变理论与 Witt 向量上同调理论，证明 $X$ 上的线丛与极化在 $W(k)$ 的有限平坦扩张上的形式形变中可提升。
• 构造 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上具有本原极化度 $d$ 的 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形的模函子 $\mathsf{M}_{n,d}$，并证明其为有限型的 Deligne-Mumford 堆栈。
• 为模空间赋予水平结构与方向结构，从而得到一个由正规拟射影概形表示的精细模空间。
• 证明晶体上同调 $H^2_{\mathrm{cris}}(X/W)$ 携带一个与 Néron-Severi 群及极化相容的典范 $F$-晶体结构。
• 利用形式 Brauer 群理论与 Serre 的 Witt 向量上同调分析 $H^2_{\mathrm{cris}}(X/W)$ 上 Frobenius 作用的核，证明其在 $W_i = W/p^iW$ 下的维数为 $\min(i, h-1)$，其中 $h$ 为形式 Brauer 群的高度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在正特征 $p > n+1$ 的域上定义 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形的良好概念？
• RQ2 在 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上，具有本原极化的 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形的模空间是否存在且具有良好的几何性质？
• RQ3 是否存在一个推广奥古斯对 K3 曲面结果的奇异 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形的晶体 Torelli 定理？
• RQ4 能否通过此框架证明正特征下 K3 曲面上层模空间的有界性？
• RQ5 对于奇异三次四fold 的直线法诺簇，是否存在一个晶体 Torelli 定理？

主要发现

• 模函子 $\mathsf{M}_{n,d}$ 是 $\mathbb{Z}_{(p)}$ 上的有限型 Deligne-Mumford 堆栈，且存在由正规拟射影概形构成的有限平态覆盖。
• 对于代数闭域 $k$ 上特征 $p > n+1$ 的 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形 $X$ 上的任意线丛 $\zeta$，存在 $W(k)$ 的有限平坦扩张 $W'$，使得 $X$ 在 $\mathrm{Spf}\,W'$ 上存在形式形变，且 $\zeta$ 可被提升。
• 若 $X$ 在 $W(k)$ 的有限平坦扩张 $V'$ 上的形变 $X_{V'}$ 提升了本原极化，则 $X_{V'}$ 的每个几何通泛纤维均为 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型。
• 一个奇异 $\mathrm{K3}^{[n]}$-型流形 $X$ 在同构 $\psi: \mathrm{NS}(X) \to \mathrm{NS}(X')$ 下唯一确定（模同构），该同构可提升为晶体上同调 $H^2_{\mathrm{cris}}(X/W) \to H^2_{\mathrm{cris}}(X'/W)$ 的同构，且保持 Frobenius 与极化结构。
• $H^2_{\mathrm{cris}}(X/W)$ 上 Frobenius 作用的核在 $W_i = W/p^iW$ 下的维数为 $\min(i, h-1)$，其中 $h$ 为形式 Brauer 群的高度。
• $\beta_n: H^1(B_n) \to H^1(\Omega_Y^1)$ 对所有 $n \geq 1$ 为单射，这意味着 Cartier 算子的上同调结构受控且趋于稳定。