[論文レビュー] On isomorphisms of factorial domains and the Jacobian conjecture in any characteristic

Kossivi Adjamagbo|ArXiv.org|Aug 1, 2006

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一意的因数分解環（U.F.D.）の同型を、素元／準素元および分岐しない、平坦、または弱く単射的な準同型を用いて特徴づけるU.F.D.同型定理を確立する。この定理を応用し、任意の特性においてジャンビアン予想を再定式化する。その際、逆行列のヤコビアンを持つ準同型および特性で割り切れない次数条件のもとで、素元または準素元の保存に関する同値条件を提示する。

ABSTRACT

The main theorem (2.2) consists in two characterizations of isomorphisms of factorial domains in terms of prime or primary rings elements, and unramified, flat or weakly injective affine schemes morphisms. In order to apply this theorem to the famous Jacobian Conjecture, we first introduce its different versions in any characteristic (3.1), and give two reformulations of some these versions in terms of domains of positive characteristic (3.8) and finite prime fields (3.9). Finally, we deduce from the main theorem an original reformulation of the any characteristic version of the Jacobian Conjecture in terms of prime or primary rings elements (3.11).

研究の動機と目的

• 一意的因数分解環（U.F.D.）間の同型を、素元または準素元および特定の幾何的・代数的性質を持つ準同型を用いて特徴づけること。
• この特徴づけをジャンビアン予想に適用し、モデル理論的および代数的幾何学的技法を用いて、正の特性および有限体におけるジャンビアン予想を再定式化すること。
• 古典的ジャンビアン予想を、素元または準素元の保存に注目した、要素に基づく新しい再定式化を任意の特性において提示すること。
• 超積およびモデル理論的転送原理を用いて、特性ゼロと正の特性におけるジャンビアン予想の定式化の間のギャップを埋めること。
• 特性ゼロにおけるジャンビアン予想が、特定の次数および分離性条件のもとで、有限体におけるそれと同値であることを示すこと。

提案手法

• 局所化における次数条件を伴う、分岐しない、平坦、または弱く単射的な準同型およびU.F.D.間の同型を特徴づけるU.F.D.同型定理（定理2.2）を構築する。
• 主定理をジャンビアン予想に適用し、逆行列のヤコビアン行列式を持つU.F.D.上の多項式代数間の準同型を分析する。
• U.F.D.上の中間代数の初等同型定理（[2]より）を、単生成拡大における同型の特徴づけの基盤として用いる。
• 有限体の超積に関するロスの定理を用いたモデル理論的技法を用い、正の特性から特性ゼロへの文の転送を行う。
• 一般化されたベズウの定理（アブハニカル＝フライトン）を用いて、正の特性の設定における交差多重度を制御する。
• ジャンビアン予想を、素元または準素元の保存という観点から再定式化する：もし準同型が素元を素元に写し、次数および分離性条件を満たすならば、それは同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素元または準素元の性質および準同型の型に依存して、U.F.D.間の準同型が同型となる条件は何か？
• RQ2 モデル理論的転送を用いて、特性ゼロにおけるジャンビアン予想を、正の特性または有限体におけるものに再定式化する方法は何か？
• RQ3 準同型における素元または準素元の保存とジャンビアン予想の正当性との間の明確な関係は何か？
• RQ4 特に特性で割り切れない次数を満たす、分数体の拡大に関する次数条件は、同型およびジャンビアン予想とどのように関係するか？
• RQ5 任意の特性における古典的ジャンビアン予想を、逆行列のヤコビアンを持つ準同型における素元の振る舞いに基づいて、同値に再定式化できるか？

主な発見

• U.F.D.間の準同型が同型であるための必要十分条件は、分離的かつ有限型であり、可逆元上で弱く単射的であり、分数体の拡大次数が特性で割り切れないことである。
• 同値に、準同型が平坦であり、素元を素元に写し、単元を保存し、かつ分数体の拡大が有限的、分離的、かつ特性で割り切れない次数をもつ場合、同型である。
• 古典的ジャンビアン予想（特性ゼロ）は、すべての十分に大きな素数 $p$ に対して、すべての $n,d$ について、有限体 $\/mathbb{F}_p$ 上でジャンビアン予想が成り立つという命題と同値である。
• 任意の特性におけるジャンビアン予想は、ヤコビアンが逆行列であり、次数が $p$ で割り切れないような準同型が、素元を素元に写すという条件と同値である。
• 同様に、このような準同型が、被域の環における素元を準素元に写すという条件とも同値である。
• 正の特性において、素元の保存に関する結論を得るためには、条件 $[B_*^{-1}B : φ(A_*)^{-1}φ(A)] \not\in p\mathbb{N}$ が必要であることが、本稿で提示された反例によって示されている。