[論文レビュー] On k-nullity foliations in Finsler geometry and completeness

B. Bidabadand, Mehdi Rafie‐Rad|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2011

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、リーマン幾何におけるノルム空間の自然な拡張として、ファインラー幾何におけるk-ノルティィ foliations を導入し、k-ノルティィ指数が定数であるとき、関連する分布が完全可積分であり、その最大積分多様体が、環境となるファインラー多様体が完備であるならば、完全かつ全測地的であることを証明している。主な貢献は、古典的なノルティィ foliations に関する結果（例えば、Ferus や Akbar-Zadeh）をファインラー設定に拡張したことであり、積分多様体の完備性と全測地的性を含む。

ABSTRACT

Here, a Finsler manifold (M, F) is considered with corresponding curvature tensor, regarded as 2-forms on the bundle of non-zero tangent vectors. Certain subspaces of the tangent spaces of M determined by the curvature are introduced and called k-nullity foliations of the curvature operator. It is shown that if the dimension of foliation is constant then the distribution is involutive and each maximal integral manifold is totally geodesic. Characterization of the k-nullity foliation is given, as well as some results concerning constancy of the flag curvature, and completeness of their integral manifolds, providing completeness of (M, F). The introduced k-nullity space is a natural extension of nullity space in Riemannian geometry, introduced by S. S. Chern and N. H. Kuiper and enlarged to Finsler setting by H. Akbar-Zadeh and contains it as a special case.

研究の動機と目的

• リーマン幾何におけるノルム空間の概念をファインラー幾何へ拡張すること。
• ファインラー多様体におけるk-ノルティィ分布が可積分であり、その積分多様体が全測地的であるかどうかを調査すること。
• 環境となるファインラー多様体が完備である場合に、k-ノルティィ積分多様体が完備である条件を特定すること。
• 古典的なノルティィ foliations に関する結果（例：Ferus, Akbar-Zadeh）をファインラー設定に一般化すること。

提案手法

• 非零ベクトルの接 bundle 上の2次形式に関連する曲率作用素の核として、ファインラー多様体の各点におけるk-ノルティィ空間を定義する。
• 曲率テンソルとその関連する2次形式を用いてk-ノルティィ分布を特徴付け、Frobenius型の条件を用いてその可積分性を分析する。
• 接 bundle TM₀ 上の正則接続および水平／垂直分解の理論を適用し、 torsion および曲率テンソルを含む構造方程式を導出する。
• 測地線に沿ったフレームの平行移動を用いて、曲率係数のための常微分方程式系を導出し、k-ノルティィ空間の曲線に沿った挙動を研究する。
• Cartan の微分法と水平微分を用いて、測地線に沿った曲率成分の変化を分析し、特定の曲率項が消えることを証明する。
• k-ノルティィ指数の最小性を用いた背理法を適用し、k-ノルティィベクトルが測地線に沿って空間に留まることを示し、積分多様体の完備性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン幾何におけるk-ノルティィ空間の概念を、ファインラー多様体へ自然に拡張できるか？
• RQ2 k-ノルティィ指数が定数である場合、ファインラー多様体におけるk-ノルティィ分布は完全可積分か？
• RQ3 k-ノルティィ foliation の最大積分多様体は、ファインラー多様体において全測地的か？
• RQ4 環境となるファインラー多様体が完備である場合、k-ノルティィ積分多様体も完備か？
• RQ5 k-ノルティィ積分多様体は、P-対称性や一定のフラッグ曲率といった特別な幾何的性質を引き継ぐか？

主な発見

• k-ノルティィ指数が開集合上で定数であるとき、ファインラー多様体におけるk-ノルティィ分布は完全可積分である。
• k-ノルティィ foliation の各最大積分多様体は、環境となるファインラー多様体において全測地的である。
• k-ノルティィ積分多様体は自己平行であり、非負の定数フラッグ曲率kを持つ。
• 各k-ノルティィ積分多様体はP-対称空間であり、高い幾何的対称性を示している。
• 環境となるファインラー多様体が完備であり、k-ノルティィ指数が開集合上で最小である場合、その集合内におけるすべてのk-ノルティィ積分多様体は完備な部分多様体である。
• 測地線に沿った曲率の進化から導かれる常微分方程式系が、初期条件がゼロであれば、k-ノルティィベクトルが空間に留まることを示し、k-ノルティィ構造が測地線に沿って保存されることを確認する。