[論文レビュー] On Killing vector fields of a homogeneous and isotropic universe in closed model

Руслан Шарипов|ArXiv.org|Aug 19, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する半径 $ R(t) $ を持つ $ \mathbb{R} \times S^3 $ としてモデル化された均一で等方的かつ閉じた宇宙における時間的キリングベクトル場の存在を調査する。ステレオグラフィック座標とリーマン接続を用いて、時空がキリングベクトル場を許容する条件を導出する。主な結果は、一般にこのような宇宙は時間的キリング場を欠いていること——非定常性を示唆——だが、2つの例外的ケースを除いてはそうである。1つは宇宙が全体として定常である場合、もう1つは $ R(t) $ を含む特定の微分方程式に従う場合に、局所的に定常である場合である。

ABSTRACT

Killing vector fields of a closed homogeneous and isotropic universe are studied. It is shown that in general case there is no time-like Killing vector fields in such a universe. Two exceptional cases are revealed.

研究の動機と目的

• 均一で等方的かつ閉じた宇宙 $ M = \mathbb{R} \times S^3 $ が時間的キリングベクトル場を許容する条件を特定すること。
• ステレオグラフィック座標とリーマン接続を用いて、時空の幾何学的・力学的構造を分析すること。
• 一般の非定常性にもかかわらず、時空が定常または局所的に定常となる例外的ケースを同定すること。
• キリングベクトル場を用いた非定常重力場背景における量子場理論の研究フレームワークを提供すること。

提案手法

• 時空は、時間に依存する半径 $ R(t) $ を持つ $ M = \mathbb{R} \times S^3 $ としてモデル化され、北極・南極のステレオグラフィック座標における計量が用いられる。
• 計量から標準的な公式を用いて、計量テンソル成分の偏微分を含む接続係数（リーマン接続）を計算する。
• 接続係数から標準的な曲率公式（偏微分および接続係数の積を含む）を用いて、リーマン曲率テンソルを導出する。
• 導出された計量と接続の文脈において、キリング方程式 $ \mathcal{L}_X g = 0 $ を解くことで、キリングベクトル場の存在を分析する。
• 平坦なミンコフスキー空間 $ \mathbb{R}^{1,4} $（符号型 $(+,-,-,-,-)$）への埋め込みを介して、明示的なキリングベクトル場を構成する。この埋め込みにより、$ M $ 上に等長変換が誘導される。
• ベクトル場をステレオグラフィックチャート間で変換し、多様体全体にわたる時間的／空間的性質の検証を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する半径 $ R(t) $ がどのような条件下で、閉じた均一で等方的宇宙 $ M = \mathbb{R} \times S^3 $ が少なくとも1つの時間的キリングベクトル場を許容するか。
• RQ2 時空は全体として定常であるか、それとも特定の $ R(t) $ 動力学のもとで局所的に定常である可能性があるか。
• RQ3 例外的ケースにおけるキリングベクトル場の幾何学的起源は何か。また、周囲のミンコフスキー空間の等長変換とどのように関係するか。
• RQ4 例外的ケースで構成されたキリングベクトル場が、多様体上のどこにも純粋な時間的でないのはなぜか。
• RQ5 時間的キリングベクトル場の不在が、曲がった時空における標準的真空状態構成法に与える影響は何か。

主な発見

• 時間に依存する $ R(t) $ を持つ一般の均一で等方的かつ閉じた宇宙 $ M = \mathbb{R} \times S^3 $ は、時間的キリングベクトル場を許容しない。これは、非定常性を示唆する。
• 微分方程式 $ 2(R')^2 - R''R + R^2 = 0 $ を満たす例外的ケースでは、10個の一次独立なキリングベクトル場が存在する：6つは空間的（回転）で、4つは双曲的（ローレンツ型）の生成子である。
• 4つの双曲的キリングベクトル場は、$ \mathbb{R}^{1,4} $ への埋め込みを介して明示的に構成され、ステレオグラフィック座標で表現されるが、いずれの点でも純粋な時間的でない。
• 6つの空間的キリング場は $ S^3 $ 上の回転に対応し、4つの双曲的場は周囲のミンコフスキー空間におけるローレンツブーストに由来する。
• 時空が全体として定常であるのは、$ R(t) $ が微分方程式 $ 2(R')^2 - R''R + R^2 = 0 $ を満たす特別な場合に限る。これは曲率定数 $ K = -1/a^2 $ が一定であることに相当する。
• その他のすべてのケースでは、時空は非定常であり、非定常重力場背景における量子場理論の研究に適した背景となる。